高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧
题目描述
计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（分母为零），但 \(f(x)\) 在 \([-1, 1]\) 上光滑。直接使用数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）在奇点附近会失效。高斯-切比雪夫求积公式天然适用于此类带权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的积分，但若 \(f(x)\) 本身在端点附近变化剧烈，仍需结合正则化变换技巧以提升精度。
解题步骤
- 理解高斯-切比雪夫求积公式的基础形式
高斯-切比雪夫公式的节点为切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的零点（即 \(x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\)），权重为常数 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)。积分公式为：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g(x_k). \]
本例中 \(g(x) = f(x)\)，但若 \(f(x)\) 在端点附近剧烈变化（如 \(f(x) = e^x \sin(10x)\)），直接使用公式可能因节点在端点处稀疏而误差较大。
- 正则化变换的核心思想
通过变量替换 \(x = \cos\theta\)（其中 \(\theta \in [0, \pi]\)），将原积分化为：
\[ I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \, d\theta. \]
此变换消除了权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，但被积函数变为 \(f(\cos\theta)\)。若 \(f(x)\) 在端点附近变化剧烈，则 \(f(\cos\theta)\) 在 \(\theta \approx 0\) 和 \(\theta \approx \pi\) 时对应 \(x \approx \pm 1\)，可能仍需要密集采样。
- 构造正则化变换函数
引入辅助变换 \(\theta = \varphi(\tau)\)，使新变量 \(\tau\) 在区间 \([0, \pi]\) 上均匀分布，但压缩端点附近的采样间隔。例如，采用正弦缩放变换：
\[ \theta = \pi \cdot \frac{\sinh(\alpha \tau)}{\sinh(\alpha \pi)}, \quad \tau \in [0, \pi]. \]
参数 \(\alpha > 0\) 控制压缩强度。当 \(\alpha\) 较大时，端点 \(\theta=0\) 和 \(\theta=\pi\) 附近对应的 \(\tau\) 区间被拉伸，从而在数值积分时增加有效节点。
- 变换后的积分形式
将 \(\theta = \varphi(\tau)\) 代入积分：
\[ I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau) \, d\tau. \]
此时被积函数不再显含奇异性，且通过调节 \(\alpha\) 可使 \(f(\cos\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)\) 在 \(\tau\) 域上变化平缓。
- 应用高斯-切比雪夫公式
对变换后的积分，再次用 \(x = \cos\tau\) 的逆变换（或直接使用复合梯形公式）离散化。更高效的方法是直接在高斯-切比雪夫节点 \(\tau_k = \cos^{-1}(x_k)\) 上计算：
\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\cos\varphi(\tau_k)\right) \cdot \varphi'(\tau_k). \]
其中 \(\tau_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}\) 为切比雪夫节点对应的角度。
- 参数选择与误差分析
- 参数 \(\alpha\) 需通过试验选择：通常从 \(\alpha=1\) 开始，根据 \(f(x)\) 在端点附近的变化梯度调整。若 \(f(x)\) 在端点处有界但导数大，需取较大的 \(\alpha\)（如 2~5）。
- 误差主要来源于 \(f(x)\) 的高阶导数，变换后余项与 \(f^{(m)}(\cos\varphi(\tau))\) 在端点处的行为相关。若变换使导数平滑，误差可显著降低。
总结
通过正则化变换调整节点分布，高斯-切比雪夫公式可有效处理端点奇异性积分中函数剧烈变化的问题。关键步骤是结合变量替换压缩端点附近区间，从而在节点数不变时提升精度。