这里 $ t_i $ 和 $ w_i $ 为公式的节点和权重。

 - 对右侧积分应用高斯-勒让德公式，取 $ n=5 $ 即可得高精度结果（精确值 $ I = \pi J_0(1) $，$ J_0 $ 为贝塞尔函数）。

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有奇异性（例如 \( f(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \)，且 \( g(x) \) 光滑）。高斯-勒让德求积公式在端点处无节点，直接应用会因奇异性导致精度下降。需通过正则化变换消除奇异性，再应用高斯-勒让德公式。 解题过程 问题分析 高斯-勒让德求积公式的节点位于开区间 \( (-1, 1) \) 内，权重在端点处为零，但若被积函数在端点附近剧烈变化（如趋于无穷），仍会引入较大误差。 正则化的核心思想是通过变量替换 \( x = \phi(t) \)，将原积分变换为 \( \int_ {-1}^{1} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt \)，使新被积函数在端点处行为更平滑。 正则化变换的构造 针对端点奇异性 \( f(x) \sim (1-x^2)^{-\alpha} \)（\( \alpha > 0 \)），选择变换 \( x = \sin t \) 或 \( x = \tanh t \)。 以 \( x = \sin t \) 为例： 令 \( x = \sin t \)，则 \( dx = \cos t \, dt \)，积分区间变为 \( t \in [ -\pi/2, \pi/2 ] \)。 原积分变为 \( I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin t) \cos t \, dt \)。 若 \( f(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \)，则新被积函数为 \( g(\sin t) \)，消除了奇异性。 若区间为 \( [ -1, 1] \)，需调整变换：令 \( x = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \)，则 \( dx = \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) dt \)，积分仍为 \( t \in [ -1, 1 ] \)。 应用高斯-勒让德求积公式 对变换后的积分 \( I = \int_ {-1}^{1} h(t) \, dt \)，其中 \( h(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) \)，直接应用 \( n \) 点高斯-勒让德公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i h(t_ i) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(\phi(t_ i)) \phi'(t_ i), \] 这里 \( t_ i \) 和 \( w_ i \) 为公式的节点和权重。 误差分析 变换后若 \( h(t) \) 足够光滑，高斯-勒让德公式的误差以 \( O(n^{-k}) \) 衰减（\( k \) 取决于光滑性）。 若变换未完全消除奇异性（如 \( h(t) \) 在端点仍有弱奇异性），误差衰减会变慢，需增加节点数或采用更精细的变换。 实例演示 计算 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。 令 \( x = \sin t \)，则 \( I = \int_ {-\pi/2}^{\pi/2} \cos(\sin t) \, dt \)。 再通过缩放 \( t = \frac{\pi}{2} s \) 将区间变回 \( [ -1, 1 ] \)： \[ I = \frac{\pi}{2} \int_ {-1}^{1} \cos\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} s\right)\right) ds. \] 对右侧积分应用高斯-勒让德公式，取 \( n=5 \) 即可得高精度结果（精确值 \( I = \pi J_ 0(1) \)，\( J_ 0 \) 为贝塞尔函数）。 总结 通过正则化变换将端点奇异性“平滑化”，再利用高斯-勒让德公式的高代数精度，可有效处理带端点奇异性的积分。变换的选择需结合奇异性的具体形式，以确保新被积函数的光滑性。