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寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 在一个无向连通图中，如果删除任意一个顶点后图仍然保持连通，则该图是**双连通的**。双连通分量是图的极大双连通子图。寻找双连通分量有助于识别图中的"脆弱点"（即割点），这些点一旦失效会导致图断开。例如，在网络设计中，双连通分量对应冗余路径丰富的区域。题目要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。 --- **解题过程** **1. 核心概念理解** - **割点（Articul

2025-11-03 00:41:45

xxx 最小生成树的Borůvka算法

**xxx 最小生成树的Borůvka算法** **题目描述**：给定一个带权无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \) 有一个非负权重 \( w(e) \)。要求使用 Borůvka 算法构造该图的最小生成树（MST），即一棵包含所有顶点的树，使得树上边的权重之和最小。 **算法背景**： Borůvka 算法是最早的 MST 算法之一（1926 年提出），其核心思想是分阶段迭代。每一阶段，每个连通分量选择一条连接该分量与其他分量的最小权重边，并将这

2025-11-03 00:36:27

Floyd-Warshall算法求解所有顶点对最短路径

**Floyd-Warshall算法求解所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个带权有向图（或无向图），图中可能包含负权边，但不允许存在负权环。要求计算图中任意两个顶点之间的最短路径距离。具体来说，需要生成一个距离矩阵，其中每个元素dist[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。 **解题过程** 1. **问题分析** - 与单源最短路径算法（如Dijkstra、Bellman-Ford）不同，Floyd-Warshall算法直接解决所有顶点对的最短路

2025-11-03 00:04:51

xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）

**xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）** 我将为您讲解最大流问题中的FIFO Push-Relabel算法。这个算法是Push-Relabel算法家族中的一种高效实现，特别之处在于它使用先进先出（FIFO）队列来管理活跃节点。 **题目描述** 最大流问题是指在一个有向图中，每条边都有一个容量限制，我们需要找到从源点s到汇点t的最大流量。FIFO Push-Relabel算法通过维护节点的"高度"标签和"超额流"来逐步将流从源点推向汇点。 **解题过程** *

2025-11-02 21:40:45

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法）

**xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个非负容量 \( c(e) \)。指定源点 \( s \) 和汇点 \( t \)，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。Goldberg-Rao 算法是一种高效的最大流算法，在最坏情况下时间复杂度为 \( O(|E| \cdot \min(|V|^{2/3}, |E|^{1/2}) \cdot \log(|V

2025-11-02 18:29:07

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法）

**xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法）** **题目描述** 给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边e∈E有一个非负容量c(e)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题的目标是找出从s到t的最大流量，即一个满足容量限制和流量守恒的流函数f，使得从s流出的总流量最大化。 **解题过程循序渐进讲解** **1. 问题基础与核心概念** - **流网络**：由顶点集V、边集E、容量函数c和源点s、汇点t组成。 - **可行流**：函数f: E→R⁺满足： a) 容

2025-11-02 17:17:42

xxx 最小高度生成树问题

**xxx 最小高度生成树问题** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边没有权重。目标是找到一个生成树 \( T \)，使得树的高度最小。树的高度定义为从根节点到最远叶节点的最长路径上的边数。换句话说，我们需要在图中选择一个根节点，并构造一棵生成树，使得根到所有叶节点的最大距离尽可能小。这个问题在实际中常用于网络设计、分布式系统主节点选举等场景，要求中心节点到所有其他节点的跳数尽量少。 **解题思路** 最小高度生成树问题可以通过图的**广度

2025-11-02 12:51:44

xxx 最小生成树的Kruskal算法

**xxx 最小生成树的Kruskal算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 G=(V, E)，其中 V 是顶点集，E 是边集，每条边有一个权重（表示距离、成本等）。要求找出一个边的子集 T ⊆ E，使得这些边连接所有顶点且不形成环，并且所有边的权重之和最小。这样的子集 T 称为图 G 的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。 **解题过程** Kruskal算法采用贪心策略，核心思想是：按边权重从小到大排序，依次选择边，若该边加入后不会与已选边

2025-11-02 11:10:41

Floyd-Warshall算法求解所有顶点对最短路径

**Floyd-Warshall算法求解所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个带权有向图，图中可能包含负权边，但不存在负权环（即环上各边权值之和为负数的环）。要求计算图中任意两个顶点之间的最短路径长度。例如，在一个有n个顶点的图中，我们需要找出从顶点i到顶点j的最短路径，其中i和j的取值范围都是1到n。 **关键概念** 1. 所有顶点对最短路径：需要计算图中每一对顶点之间的最短距离。 2. 负权边允许存在，但图中不能有负权环（因为负权环会导致路径长度可以无限减小）。 3

2025-11-02 09:35:01

二分图检测（BFS/DFS）

**二分图检测（BFS/DFS）** **题目描述** 给定一个无向图，判断它是否是一个二分图。二分图是指能够将图中的所有顶点划分为两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点之间没有边相连。换句话说，图中每条边的两个顶点必须属于不同的集合。如果图是二分图，返回划分方案；否则返回无法划分。 **关键概念** - **二分图**：顶点集可划分为两个独立集（内部无边）。 - **染色法**：通过给顶点染色（如0和1）模拟划分，相邻顶点颜色需不同。 **解题步骤** 1. **初始

2025-11-02 05:46:06

有向无环图（DAG）中的最长路径问题

**有向无环图（DAG）中的最长路径问题** **题目描述** 给定一个带权有向无环图（DAG），每个边有一个实数权重（可能是正数、负数或零），要求找到图中任意两个顶点之间的最长路径（即路径上所有边权重之和最大的路径）。注意，由于图中可能存在负权边，但不能有环（否则最长路径可能无限大），因此问题在DAG上是有解的。 **解题过程** 1. **问题分析** - 在一般图中，最长路径问题是NP难的，但DAG无环的特性允许我们使用动态规划高效求解。 - 核心思路：利用

2025-11-02 05:19:37

最小顶点覆盖问题的近似算法（基于最大匹配）

**最小顶点覆盖问题的近似算法（基于最大匹配）** **题目描述** 给定一个无向图 \( G = (V, E) \)，顶点覆盖是指一个顶点子集 \( S \subseteq V \)，使得图中的每条边至少有一个端点在 \( S \) 中。最小顶点覆盖问题要求找到一个顶点数最少的顶点覆盖。该问题是NP难的，但存在多项式时间的近似算法，其中基于最大匹配的算法能保证近似比为2（即算法输出的顶点覆盖大小不超过最优解的两倍）。 **解题步骤** 1. **理解问题核心** - 顶

2025-11-01 21:45:43

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