寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components）
字数 1533 2025-11-03 08:34:53

寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components）

题目描述
在一个无向连通图中，如果删除任意一个顶点后图仍然保持连通，则该图是双连通的。双连通分量是图的极大双连通子图。寻找双连通分量有助于识别图中的"脆弱点"（即割点），这些点一旦失效会导致图断开。例如，在网络设计中，双连通分量对应冗余路径丰富的区域。题目要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。

解题过程

1. 核心概念理解

  • 割点（Articulation Point）：删除该顶点后，图的连通分量数量增加。
  • 桥（Bridge）：删除该边后，图的连通分量数量增加。
  • 双连通分量：不含割点的极大连通子图，分量内任意两点至少存在两条不相交路径。
  • 关键性质：双连通分量通过割点连接，且每条边恰好属于一个双连通分量。

2. 算法选择：基于DFS的Tarjan算法变体
使用深度优先搜索（DFS）遍历图，同时维护两个关键值：

  • disc[u]：顶点u的发现时间（DFS首次访问时间）。
  • low[u]：从u出发通过DFS树边和后向边能访问到的最早祖先的disc值。

步骤：

  1. 从任意顶点开始DFS，记录每个顶点的disc和low。
  2. 当发现边(u, v)时：
    • 若v未访问（树边）：递归访问v，更新low[u] = min(low[u], low[v])。
      • 若low[v] >= disc[u]，则u是割点（根节点需特殊判断子节点数）。
    • 若v已访问且不是父节点（后向边）：更新low[u] = min(low[u], disc[v])。
  3. 用栈记录边：当检测到割点时，弹出栈中边直到当前边(u, v)，这些边构成一个双连通分量。

3. 详细步骤示例
假设无向图如下（边集：AB, BC, CD, CE, DE, EF）：

A — B — C — E — F
         \   /
          D
  • 初始化：disc和low初始为-1，栈为空。
  • DFS从A开始：
    • 访问A（disc=0, low=0），邻接B（未访问），压栈边AB，递归B。
    • 访问B（disc=1, low=1），邻接C（未访问），压栈BC，递归C。
    • 访问C（disc=2, low=2），邻接D（未访问），压栈CD，递归D。
    • 访问D（disc=3, low=3），邻接C（已访问，但C是父节点，忽略），邻接E（未访问），压栈DE，递归E。
    • 访问E（disc=4, low=4），邻接C（已访问且非父节点，后向边）：更新low[E] = min(4, disc[C]=2) = 2。邻接F（未访问），压栈EF，递归F。
    • F无未访问邻居，回溯到E。边EF弹出作为分量{EF}。
    • E回溯到D：更新low[D] = min(3, low[E]=2) = 2。
    • D回溯到C：更新low[C] = min(2, low[D]=2) = 2。
    • C邻接E（已访问且非父节点）：更新low[C] = min(2, disc[E]=4) = 2。
  • 检测割点：
    • 回溯时，C的子节点D的low[D]=2 >= disc[C]=2，故C是割点。弹出栈中边直到CD，得到分量{CD, DE, CE}。
    • 继续回溯，B的子节点C的low[C]=2 >= disc[B]=1，故B是割点。弹出边BC，得分量{BC}。
    • 最后栈中剩余AB，弹出得分量{AB}。

4. 结果
双连通分量：{AB}, {BC}, {CD, DE, CE}, {EF}。割点为B和C。

关键点总结

  • 利用low值判断割点：若子节点无法绕过当前顶点访问更早祖先，则该顶点是割点。
  • 栈管理边：确保每条边仅属于一个分量。
  • 时间复杂度：O(V+E)，与DFS相同。
寻找无向图的双连通分量（Biconnected Components） 题目描述 在一个无向连通图中，如果删除任意一个顶点后图仍然保持连通，则该图是 双连通的 。双连通分量是图的极大双连通子图。寻找双连通分量有助于识别图中的"脆弱点"（即割点），这些点一旦失效会导致图断开。例如，在网络设计中，双连通分量对应冗余路径丰富的区域。题目要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。 解题过程 1. 核心概念理解 割点（Articulation Point） ：删除该顶点后，图的连通分量数量增加。 桥（Bridge） ：删除该边后，图的连通分量数量增加。 双连通分量 ：不含割点的极大连通子图，分量内任意两点至少存在两条不相交路径。 关键性质 ：双连通分量通过割点连接，且每条边恰好属于一个双连通分量。 2. 算法选择：基于DFS的Tarjan算法变体 使用深度优先搜索（DFS）遍历图，同时维护两个关键值： disc[u] ：顶点 u 的发现时间（DFS首次访问时间）。 low[u] ：从 u 出发通过DFS树边和后向边能访问到的最早祖先的 disc 值。 步骤 ： 从任意顶点开始DFS，记录每个顶点的 disc 和 low 。 当发现边 (u, v) 时： 若 v 未访问（树边）：递归访问 v ，更新 low[u] = min(low[u], low[v]) 。 若 low[v] >= disc[u] ，则 u 是割点（根节点需特殊判断子节点数）。 若 v 已访问且不是父节点（后向边）：更新 low[u] = min(low[u], disc[v]) 。 用栈记录边：当检测到割点时，弹出栈中边直到当前边 (u, v) ，这些边构成一个双连通分量。 3. 详细步骤示例 假设无向图如下（边集：AB, BC, CD, CE, DE, EF）： 初始化 ： disc 和 low 初始为-1，栈为空。 DFS从A开始 ： 访问A（disc=0, low=0），邻接B（未访问），压栈边AB，递归B。 访问B（disc=1, low=1），邻接C（未访问），压栈BC，递归C。 访问C（disc=2, low=2），邻接D（未访问），压栈CD，递归D。 访问D（disc=3, low=3），邻接C（已访问，但C是父节点，忽略），邻接E（未访问），压栈DE，递归E。 访问E（disc=4, low=4），邻接C（已访问且非父节点，后向边）：更新 low[E] = min(4, disc[C]=2) = 2 。邻接F（未访问），压栈EF，递归F。 F无未访问邻居，回溯到E。边EF弹出作为分量{EF}。 E回溯到D：更新 low[D] = min(3, low[E]=2) = 2 。 D回溯到C：更新 low[C] = min(2, low[D]=2) = 2 。 C邻接E（已访问且非父节点）：更新 low[C] = min(2, disc[E]=4) = 2 。 检测割点 ： 回溯时，C的子节点D的 low[D]=2 >= disc[C]=2 ，故C是割点。弹出栈中边直到CD，得到分量{CD, DE, CE}。 继续回溯，B的子节点C的 low[C]=2 >= disc[B]=1 ，故B是割点。弹出边BC，得分量{BC}。 最后栈中剩余AB，弹出得分量{AB}。 4. 结果 双连通分量：{AB}, {BC}, {CD, DE, CE}, {EF}。割点为B和C。 关键点总结 利用 low 值判断割点：若子节点无法绕过当前顶点访问更早祖先，则该顶点是割点。 栈管理边：确保每条边仅属于一个分量。 时间复杂度：O(V+E)，与DFS相同。