xxx 最大流问题（FIFO Push-Relabel算法）

我将为您讲解最大流问题中的FIFO Push-Relabel算法。这个算法是Push-Relabel算法家族中的一种高效实现，特别之处在于它使用先进先出（FIFO）队列来管理活跃节点。

题目描述
最大流问题是指在一个有向图中，每条边都有一个容量限制，我们需要找到从源点s到汇点t的最大流量。FIFO Push-Relabel算法通过维护节点的"高度"标签和"超额流"来逐步将流从源点推向汇点。

解题过程

基本概念

1. 预流（Preflow）：允许节点的流入量暂时大于流出量
2. 高度函数（Height Label）：每个节点有一个高度值，流只能从高节点流向低节点
3. 超额流（Excess Flow）：节点当前持有的多余流量
4. 活跃节点（Active Node）：有正超额流的节点（除源点和汇点）

算法步骤

步骤1：初始化

# 对于每个节点v
height[v] = 0
excess[v] = 0

# 对于源点s
height[s] = n  # n是节点总数
excess[s] = ∞

# 将s的所有出边推流到容量上限
for each edge (s, v) in graph:
    flow[s, v] = capacity[s, v]
    excess[v] += capacity[s, v]
    excess[s] -= capacity[s, v]

步骤2：创建FIFO队列
将所有有超额流的非源非汇节点加入队列：

queue = FIFOQueue()
for each node v ≠ s, t:
    if excess[v] > 0:
        queue.push(v)

步骤3：主循环 - 处理活跃节点
当队列不为空时：

while not queue.empty():
    u = queue.pop()  # 取出队列头部的节点
    
    # 尝试推流操作
    while excess[u] > 0:
        # 查找允许推流的邻接点
        found_admissible_edge = false
        
        for each edge (u, v) in residual graph:
            if height[u] == height[v] + 1:  # 高度差为1
                # 执行推流操作
                push_flow = min(excess[u], residual_capacity(u, v))
                
                # 更新流值
                flow[u, v] += push_flow
                flow[v, u] -= push_flow  # 更新反向边
                
                # 更新超额流
                excess[u] -= push_flow
                excess[v] += push_flow
                
                # 如果v成为新的活跃节点且不是s,t，加入队列
                if excess[v] > 0 and v ≠ s, t and v not in queue:
                    queue.push(v)
                
                found_admissible_edge = true
                break  # 一次只推一条边
        
        if not found_admissible_edge:
            # 没有允许推流的边，需要重标记高度
            min_height = ∞
            for each edge (u, v) in residual graph:
                if residual_capacity(u, v) > 0:
                    min_height = min(min_height, height[v])
            
            height[u] = min_height + 1  # 提高到允许推流的最小高度
            break  # 退出当前推流循环，重新检查边

步骤4：推流操作详解
推流操作有两种情况：

1. 饱和推流：推流量等于边的剩余容量
2. 非饱和推流：推流量小于边的剩余容量

步骤5：重标记操作详解
当节点u没有可以推流的邻接点时，需要提高其高度：

• 找到所有有剩余容量的邻接点的最小高度
• 将u的高度设置为该最小高度加1

算法终止条件
当队列为空时，算法终止。此时汇点t的流入量就是最大流值。

时间复杂度分析

• 推流操作：O(n²m)次
• 重标记操作：O(n²)次
• 总时间复杂度：O(n²m)，其中n是节点数，m是边数

关键优化

1. FIFO队列确保每个节点被公平处理
2. 高度函数保证流始终向汇点方向移动
3. 重标记操作防止算法陷入死循环

这个算法通过高度标签机制和FIFO队列管理，有效地找到了最大流，相比基本的Push-Relabel算法有更好的实际性能。