xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法） 题目描述 给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边e∈E有一个非负容量c(e)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题的目标是找出从s到t的最大流量，即一个满足容量限制和流量守恒的流函数f，使得从s流出的总流量最大化。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题基础与核心概念 流网络 ：由顶点集V、边集E、容量函数c和源点s、汇点t组成。 可行流 ：函数f: E→R⁺满足： a) 容量限制：0 ≤ f(e) ≤ c(e)对所有边e成立 b) 流量守恒：对每个非s、t顶点v，流入流量等于流出流量 最大流目标 ：最大化从s流出的净流量（等于流入t的净流量） 2. Goldberg-Rao算法核心思想 这是Push-Relabel算法家族的高效变体，创新性地使用 位缩放（bit-scaling） 技术处理边容量。核心思路分阶段处理容量的高位到低位，每个阶段计算一个近似流，最终合并得到精确最大流。 3. 算法详细步骤 步骤1：参数定义与初始化 定义最大容量C = max{c(e)}，设U=2^⌈log₂C⌉（大于等于C的最小2的幂） 流值f初始化为0（所有边流量为0） 设置高度函数h: V→Z，初始h(s)=|V|, h(v)=0（v≠s） 初始化超额流e(v)：e(s)=∞（理论值），实际通过推送操作分配 步骤2：位缩放阶段循环 算法运行⌈log₂U⌉个阶段，阶段i处理容量的第i个最高位： 当前缩放参数Δ = U/2^i 定义 Δ-残量图 G_ f(Δ)：只包含残量容量r(u,v)≥Δ的边 在G_ f(Δ)上执行推送-重标操作，但推送量限制与Δ相关 步骤3：Δ-最大流计算（每个阶段核心） a) 高度函数初始化 ：h(s)=|V|, h(t)=0，其他顶点高度通过BFS从t在G_ f(Δ)中计算 b) 推送操作改进 ：当顶点u有超额流(e(u)>0)且存在边(u,v)满足： h(u) = h(v) + 1 残量容量r(u,v) ≥ Δ 则推送流量δ = min(e(u), r(u,v))，但不超过Δ c) 重标操作 ：当u有超额流但无可推送边时，将h(u)设为min{h(v)+1 | (u,v)在G_ f(Δ)中} 步骤4：阶段转换与流合并 完成当前Δ阶段后，将得到的流与之前阶段的流合并 关键性质：每个阶段结束时，当前流是容量精度为Δ的近似最大流 进入下一阶段（Δ减半），重复步骤3直到Δ=1 步骤5：最终精确最大流 当Δ=1阶段结束时，获得的流就是精确的最大流 因为此时残量图中已无增广路径（根据最大流最小割定理） 4. 算法关键创新点分析 位缩放技术 ：通过从高到低处理容量位，避免直接处理大容量值，提升效率 Δ-残量图 ：每个阶段只关注残量容量足够大的边，减少无效操作 时间复杂度 ：O(|V|²|E|^(1/2) log U)或O(|V|^(2/3)|E| log U log C)，优于许多传统算法 5. 实例演示（简化） 考虑简单网络：s→a→t，s→b→t，容量均为3（U=4） 阶段1（Δ=2）：在G_ f(2)上推送流量，可能得流值2 阶段2（Δ=1）：在更精细的残量图上继续推送，达到最大流3 通过两个阶段的位缩放处理，高效找到精确解 这个算法通过巧妙的位缩放策略，将大容量问题分解为多个小规模子问题，显著提升了大规模网络中的最大流计算效率。