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高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的误差控制技巧

**高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的误差控制技巧** ### 题目描述计算积分 \[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx, \] 其中被积函数包含振荡衰减因子（如 \( f(x) = e^{-x} \cos(\omega x) \)，\(\omega\) 为较大参数）。高斯-切比雪夫求积公式直接利用权函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 的正交多项式（切比雪夫多项式）节点和权

2025-11-10 07:40:30

列生成算法在铁路网络列车时刻表优化问题中的应用示例

**列生成算法在铁路网络列车时刻表优化问题中的应用示例** **题目描述** 在铁路运营中，优化列车时刻表是一个复杂问题。假设一个铁路网络包含多个车站和轨道段，每天有若干列车需要运行。每条列车路线（即一个"列车服务"）包含发车时间、到站时间、停靠站序列等属性。目标是在满足轨道容量、最小停靠时间等约束下，最大化总乘客满意度（或最小化总旅行时间）。由于可能的列车路线组合数量巨大（组合爆炸），直接枚举所有路线并求解整数规划不可行。因此，采用列生成算法：将问题分解为主问题（选择最优路线组合）和定价

2025-11-10 07:35:06

最大子数组和问题的变种——最多允许删除一个元素的最大子数组和

**最大子数组和问题的变种——最多允许删除一个元素的最大子数组和** **题目描述** 给定一个整数数组 `nums`，要求计算其连续子数组的最大和。与经典的最大子数组和问题不同，本题允许在计算过程中最多删除一个元素（也可以不删除），以使得子数组和尽可能大。注意：删除元素后，剩余元素必须保持原始顺序，且子数组必须是连续的。要求设计一个时间复杂度为 O(n) 的算法。示例：输入：nums = [1, -2, 0, 3] 输出：4 解释：删除元素 -2 后，子数组 [1, 0

2025-11-10 07:29:49

分块矩阵的Krylov子空间方法在求解线性方程组中的应用

**分块矩阵的Krylov子空间方法在求解线性方程组中的应用** 我将为您详细讲解分块矩阵的Krylov子空间方法在求解线性方程组中的应用。这个算法特别适用于需要同时求解多个右端项的线性方程组问题。 **问题描述** 考虑线性方程组AX = B，其中： - A是n×n的大型稀疏矩阵 - B是n×s的矩阵（s个右端项） - X是n×s的待求解矩阵当s>1时，我们需要同时求解多个具有相同系数矩阵但不同右端项的线性方程组。传统的Krylov子空间方法（如GMRES、CG等）需要为每个右端项单

2025-11-10 07:24:25

列生成算法在蛋白质折叠问题中的应用示例

**列生成算法在蛋白质折叠问题中的应用示例** **题目描述** 蛋白质折叠问题旨在预测蛋白质的三维空间结构，其能量最小化模型可转化为组合优化问题。由于构象空间巨大，直接枚举不可行。列生成算法将问题分解为主问题（处理已生成构象）和定价子问题（生成新构象），通过迭代扩展主问题的解空间逼近全局最优解。主问题通常为线性规划模型，子问题则利用能量函数性质生成负约化成本构象。 **解题过程** 1. **问题建模** - 主问题（限制主问题，RMP）：设蛋白质可能构象

2025-11-10 07:19:09

基于深度学习的图像语义分割算法：Mask R-CNN

**基于深度学习的图像语义分割算法：Mask R-CNN** **题目描述** Mask R-CNN 是目标检测与语义分割结合的经典算法，它在 Faster R-CNN 的基础上增加了一个掩码分支，用于预测每个检测对象的像素级分割掩码。其核心目标是在定位物体的同时，精确生成每个物体的轮廓掩码，适用于实例分割任务（即区分同一类别的不同个体）。 **解题过程** **1. 算法基础：Faster R-CNN 回顾** - **区域提议网络（RPN）**：首先生成候选区域（R

2025-11-10 07:13:52

非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题

**非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题** **题目描述** 考虑一个带约束的非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 3)^2 + \sin(5x_1) \cos(2x_2) \) 约束条件为： 1. \( g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0 \) 2. \( g_2(x) = -x_1 + x_2 - 1 \leq 0 \) 3. \( -2 \leq x_1

2025-11-10 07:03:11

基于线性规划的图最小割问题求解示例

**基于线性规划的图最小割问题求解示例** **问题描述** 图最小割问题（Minimum Cut Problem）是图论中的经典问题：给定一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集，每条边 \( (i, j) \in E \) 有一个非负容量 \( c_{ij} \)。问题要求将顶点集 \( V \) 划分为两个不相交子集 \( S \) 和 \( T \)（即 \( S \cup T = V \)，\( S \cap T =

2025-11-10 06:57:50

统计同构子字符串的数目问题（进阶版）

**统计同构子字符串的数目问题（进阶版）** **题目描述** 给定一个字符串s，我们需要统计所有同构子字符串的数目。同构字符串定义为：如果可以通过对另一个字符串进行字符替换（所有相同字符必须替换为相同字符，不同字符必须替换为不同字符）得到，则两个字符串是同构的。例如： - "egg" 和 "add" 是同构的（e→a, g→d） - "foo" 和 "bar" 不是同构的（o需要同时映射到a和r） - "paper" 和 "title" 是同构的（p→t, a→i, e→l, r→e）

2025-11-10 06:52:30

基于自注意力机制（Self-Attention）的文本表示学习算法

**基于自注意力机制（Self-Attention）的文本表示学习算法** **题目描述** 文本表示学习是自然语言处理的核心任务，旨在将文本转换为低维、稠密的数值向量（即嵌入表示），并保留语义信息。传统方法如词袋模型或静态词向量（如Word2Vec）无法有效捕捉上下文动态特征。自注意力机制通过计算序列中每个词与其他词的关联权重，生成上下文感知的文本表示。本题目要求详解如何利用自注意力机制学习文本的语义表示，包括权重计算、多头扩展及实际应用。 --- **解题过程** **1.

2025-11-10 06:41:55

基于动态规划的编辑距离（Levenshtein Distance）算法详解

**基于动态规划的编辑距离（Levenshtein Distance）算法详解** **题目描述** 编辑距离（Levenshtein Distance）是衡量两个字符串相似度的经典算法，通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少编辑操作次数（包括插入、删除、替换字符）。该算法在拼写检查、DNA序列比对、机器翻译评估等领域有广泛应用。 --- **解题过程** **1. 问题定义** 设字符串 \( A = a_1a_2...a_m \) 和 \( B = b_1b_2.

2025-11-10 06:36:39

基于代理模型的序列优化方法基础题

**基于代理模型的序列优化方法基础题** **题目描述** 考虑一个非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 满足约束 \( g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \)，\( g_2(x) = -x_1 \leq 0 \)，其中 \( x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \)。本题目要求使用**基于代理模型的序列优化方法**求解该问题。代理模型采用二次多项式响应面

2025-11-10 06:26:11

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