列生成算法在铁路网络列车时刻表优化问题中的应用示例 题目描述 在铁路运营中，优化列车时刻表是一个复杂问题。假设一个铁路网络包含多个车站和轨道段，每天有若干列车需要运行。每条列车路线（即一个"列车服务"）包含发车时间、到站时间、停靠站序列等属性。目标是在满足轨道容量、最小停靠时间等约束下，最大化总乘客满意度（或最小化总旅行时间）。由于可能的列车路线组合数量巨大（组合爆炸），直接枚举所有路线并求解整数规划不可行。因此，采用列生成算法：将问题分解为主问题（选择最优路线组合）和定价子问题（生成新的有潜力改进目标函数的列车路线）。 解题过程 问题建模 主问题（限制主问题，RMP）形式化为一个集合覆盖/打包模型： 决策变量 \(y_ r\) 表示是否选择列车路线 \(r\)（二进制变量）。 目标函数：最大化总乘客满意度 \(\sum_ r p_ r y_ r\)，其中 \(p_ r\) 是路线 \(r\) 的满意度评分。 约束包括： 每个车站的轨道容量约束（每小时最多发车/到站列车数）。 每个列车服务必须被恰好一条路线覆盖（若需固定列车数量）。 变量取值范围 \(y_ r \in \{0,1\}\)。 由于路线数量庞大，初始RMP仅包含少量路线（如简单直达路线），后续通过列生成动态添加路线。 列生成框架 步骤1：求解RMP的线性松弛 将二进制变量松弛为连续变量 \(0 \leq y_ r \leq 1\)，求解当前RMP的最优解和对应的对偶变量值（如轨道容量的影子价格）。 步骤2：定价子问题 利用对偶变量构造子问题目标函数： 子问题为在铁路网络图上寻找一条列车路线（路径），其"收益"为原始满意度 \(p_ r\) 减去占用资源（如轨道时段）的对偶成本。 数学形式：设对偶变量 \(\lambda_ i\) 对应轨道容量约束，子问题目标为最大化 \(\text{收益} = p_ r - \sum_ i a_ {ir} \lambda_ i\)，其中 \(a_ {ir}\) 是路线 \(r\) 占用资源 \(i\) 的量。 子问题可建模为带资源约束的最长路径问题（如考虑时间窗、停靠时间），通过动态规划或标签算法求解。 步骤3：检查子问题结果 若找到一条路线其收益（即检验数）为正，将该路线加入RMP；否则，当前线性松弛解已最优。 步骤4：迭代 重复步骤1-3直至无改进路线，得到线性松弛最优解。 步骤5：整数解处理 最后，对包含所有生成路线的RMP施加整数约束，使用分支定界法求解整数规划。 关键细节 定价子问题的建模 ：铁路网络可视为时间-空间图，节点代表（车站，时间点），边代表列车行驶或停靠。子问题需包含约束如最小停靠时间、最大行驶时间等。 对偶变量的解释 ：轨道容量约束的对偶变量表示该时段轨道的拥挤成本；子问题生成低成本（对偶成本）高满意度路线。 实际优化 ：为加速，可限制路线长度（如停靠站数）或使用启发式生成初始路线。 总结 列生成通过分解策略处理大规模组合优化问题，在铁路时刻表优化中，主问题负责选择路线，子问题利用对偶信息生成新路线，有效避免全枚举。该方法可扩展至多列车类型、多目标等复杂场景。