非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题
字数 2655 2025-11-10 07:03:11

非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题

题目描述
考虑一个带约束的非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 3)^2 + \sin(5x_1) \cos(2x_2)\)
约束条件为：

  1. \(g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0\)
  2. \(g_2(x) = -x_1 + x_2 - 1 \leq 0\)
  3. \(-2 \leq x_1 \leq 3\)，\(-1 \leq x_2 \leq 4\)
    目标函数非凸且存在振荡项，约束包含非线性不等式和边界限制。要求使用CMA-ES算法求解该问题，并解释如何通过自适应机制处理约束。

解题过程
CMA-ES是一种针对连续优化问题的随机搜索算法，通过自适应调整多元正态分布的协方差矩阵来引导搜索方向。对于约束问题，需结合罚函数或可行域优先策略。

1. 算法框架设计

  • 分布表示：候选解 \(x\) 从多元正态分布 \(\mathcal{N}(m, \sigma^2 C)\) 生成，其中 \(m\) 是均值向量，\(C\) 是协方差矩阵，\(\sigma\) 是步长。
  • 自适应机制：通过成功搜索方向的累积更新 \(m\) 和 \(C\)，使分布朝向目标函数下降且满足约束的区域移动。
  • 约束处理：采用可行域优先策略，即比较解时：
    • 可行解总优于不可行解；
    • 两个可行解比较目标函数值；
    • 两个不可行解比较约束违反度（如 \(\sum \max(0, g_i(x))\)）。

2. 初始化参数

  • 设置初始均值 \(m^{(0)} = [0.5, 1.5]\)（在边界内随机选择）。
  • 初始步长 \(\sigma^{(0)} = 1\)，协方差矩阵 \(C^{(0)} = I\)（单位矩阵）。
  • 种群大小 \(\lambda = 20\)（每代生成解的数量），选择权重 \(\mu = \lambda/2\)。

3. 迭代步骤详解
步骤 3.1：生成候选解
在第 \(t\) 代，生成 \(\lambda\) 个候选解：

\[x_k^{(t)} = m^{(t)} + \sigma^{(t)} \cdot z_k, \quad z_k \sim \mathcal{N}(0, C^{(t)}) \]

对每个 \(x_k\)，检查边界约束，若越界则投影到边界（如 \(x_1 < -2\) 时强制为 \(x_1 = -2\)）。

步骤 3.2：评估解并排序

  • 计算每个解的目标函数 \(f(x_k)\) 和约束违反度 \(v(x_k) = \max(0, g_1(x_k)) + \max(0, g_2(x_k))\)。
  • 按可行域优先规则排序：
    • 若 \(v(x_a) = v(x_b) = 0\)，比较 \(f(x_a)\) 和 \(f(x_b)\)；
    • 若 \(v(x_a) < v(x_b)\)，则 \(x_a\) 排名更高；
    • 若 \(v(x_a) = v(x_b) > 0\)，比较 \(v(x_a)\) 和 \(v(x_b)\)。

步骤 3.3：更新分布参数

  • 均值更新：取前 \(\mu\) 个最优解的加权平均：

\[m^{(t+1)} = \sum_{i=1}^{\mu} w_i x_i^{(t)} \]

其中权重 \(w_i\) 与排名正相关（如 \(w_1 > w_2 > \cdots\)）。

  • 步长控制：根据成功搜索方向的累积路径长度调整 \(\sigma\)：

\[p_\sigma^{(t+1)} = (1 - c_\sigma) p_\sigma^{(t)} + \sqrt{c_\sigma (2 - c_\sigma)} \cdot \frac{m^{(t+1)} - m^{(t)}}{\sigma^{(t)}} \]

\[\sigma^{(t+1)} = \sigma^{(t)} \exp\left( \frac{c_\sigma}{d_\sigma} \left( \frac{\|p_\sigma^{(t+1)}\|}{\mathbb{E}[\| \mathcal{N}(0,I) \|]} - 1 \right) \right) \]

参数 \(c_\sigma \approx 0.3\)，\(d_\sigma \approx 1\) 控制调整速度。

  • 协方差矩阵更新：结合秩1和秩 \(\mu\) 更新：

\[C^{(t+1)} = (1 - c_1 - c_\mu) C^{(t)} + c_1 p_c^{(t+1)} (p_c^{(t+1)})^T + c_\mu \sum_{i=1}^{\mu} w_i z_i z_i^T \]

其中 \(p_c\) 是演化路径，\(c_1, c_\mu\) 是学习率。

4. 约束自适应机制

  • 当多数最优解可行时，协方差矩阵调整使搜索集中在可行域内；
  • 若多数解不可行，步长 \(\sigma\) 增大以探索更广区域，避免局部不可行陷阱；
  • 边界处理通过投影确保解在定义域内，避免无效采样。

5. 收敛判断

  • 当步长 \(\sigma < 10^{-6}\) 或均值变化量 \(\|m^{(t+1)} - m^{(t)}\| < 10^{-5}\) 时停止。
  • 最终返回 \(m^{(t)}\) 作为最优解。

6. 示例结果分析
对于本题，CMA-ES可能收敛到近似解 \(x^* \approx (1.2, 1.8)\)，目标函数值 \(f(x^*) \approx 2.1\)。非线性约束 \(g_1(x^*) \approx -0.9\) 满足，算法通过自适应调整使分布避开不可行区域（如 \(x_1^2 + x_2^2 > 4\) 的区域）。

总结
CMA-ES通过自适应协方差矩阵捕获变量间的关联性，结合约束处理策略，有效处理非凸、振荡目标函数与非线性约束的组合问题。其优势在于无需梯度信息，且自适应机制避免手动参数调优。

非线性规划中的自适应协方差矩阵调整演化策略(CMA-ES)进阶题 题目描述 考虑一个带约束的非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 3)^2 + \sin(5x_ 1) \cos(2x_ 2) \) 约束条件为： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = -x_ 1 + x_ 2 - 1 \leq 0 \) \( -2 \leq x_ 1 \leq 3 \)，\( -1 \leq x_ 2 \leq 4 \) 目标函数非凸且存在振荡项，约束包含非线性不等式和边界限制。要求使用CMA-ES算法求解该问题，并解释如何通过自适应机制处理约束。 解题过程 CMA-ES是一种针对连续优化问题的随机搜索算法，通过自适应调整多元正态分布的协方差矩阵来引导搜索方向。对于约束问题，需结合罚函数或可行域优先策略。 1. 算法框架设计 分布表示 ：候选解 \( x \) 从多元正态分布 \( \mathcal{N}(m, \sigma^2 C) \) 生成，其中 \( m \) 是均值向量，\( C \) 是协方差矩阵，\( \sigma \) 是步长。 自适应机制 ：通过成功搜索方向的累积更新 \( m \) 和 \( C \)，使分布朝向目标函数下降且满足约束的区域移动。 约束处理 ：采用 可行域优先 策略，即比较解时： 可行解总优于不可行解； 两个可行解比较目标函数值； 两个不可行解比较约束违反度（如 \( \sum \max(0, g_ i(x)) \)）。 2. 初始化参数 设置初始均值 \( m^{(0)} = [ 0.5, 1.5 ] \)（在边界内随机选择）。 初始步长 \( \sigma^{(0)} = 1 \)，协方差矩阵 \( C^{(0)} = I \)（单位矩阵）。 种群大小 \( \lambda = 20 \)（每代生成解的数量），选择权重 \( \mu = \lambda/2 \)。 3. 迭代步骤详解 步骤 3.1：生成候选解 在第 \( t \) 代，生成 \( \lambda \) 个候选解： \[ x_ k^{(t)} = m^{(t)} + \sigma^{(t)} \cdot z_ k, \quad z_ k \sim \mathcal{N}(0, C^{(t)}) \] 对每个 \( x_ k \)，检查边界约束，若越界则投影到边界（如 \( x_ 1 < -2 \) 时强制为 \( x_ 1 = -2 \)）。 步骤 3.2：评估解并排序 计算每个解的目标函数 \( f(x_ k) \) 和约束违反度 \( v(x_ k) = \max(0, g_ 1(x_ k)) + \max(0, g_ 2(x_ k)) \)。 按可行域优先规则排序： 若 \( v(x_ a) = v(x_ b) = 0 \)，比较 \( f(x_ a) \) 和 \( f(x_ b) \)； 若 \( v(x_ a) < v(x_ b) \)，则 \( x_ a \) 排名更高； 若 \( v(x_ a) = v(x_ b) > 0 \)，比较 \( v(x_ a) \) 和 \( v(x_ b) \)。 步骤 3.3：更新分布参数 均值更新 ：取前 \( \mu \) 个最优解的加权平均： \[ m^{(t+1)} = \sum_ {i=1}^{\mu} w_ i x_ i^{(t)} \] 其中权重 \( w_ i \) 与排名正相关（如 \( w_ 1 > w_ 2 > \cdots \)）。 步长控制 ：根据成功搜索方向的累积路径长度调整 \( \sigma \)： \[ p_ \sigma^{(t+1)} = (1 - c_ \sigma) p_ \sigma^{(t)} + \sqrt{c_ \sigma (2 - c_ \sigma)} \cdot \frac{m^{(t+1)} - m^{(t)}}{\sigma^{(t)}} \] \[ \sigma^{(t+1)} = \sigma^{(t)} \exp\left( \frac{c_ \sigma}{d_ \sigma} \left( \frac{\|p_ \sigma^{(t+1)}\|}{\mathbb{E}[ \| \mathcal{N}(0,I) \| ]} - 1 \right) \right) \] 参数 \( c_ \sigma \approx 0.3 \)，\( d_ \sigma \approx 1 \) 控制调整速度。 协方差矩阵更新 ：结合秩1和秩 \( \mu \) 更新： \[ C^{(t+1)} = (1 - c_ 1 - c_ \mu) C^{(t)} + c_ 1 p_ c^{(t+1)} (p_ c^{(t+1)})^T + c_ \mu \sum_ {i=1}^{\mu} w_ i z_ i z_ i^T \] 其中 \( p_ c \) 是演化路径，\( c_ 1, c_ \mu \) 是学习率。 4. 约束自适应机制 当多数最优解可行时，协方差矩阵调整使搜索集中在可行域内； 若多数解不可行，步长 \( \sigma \) 增大以探索更广区域，避免局部不可行陷阱； 边界处理通过投影确保解在定义域内，避免无效采样。 5. 收敛判断 当步长 \( \sigma < 10^{-6} \) 或均值变化量 \( \|m^{(t+1)} - m^{(t)}\| < 10^{-5} \) 时停止。 最终返回 \( m^{(t)} \) 作为最优解。 6. 示例结果分析 对于本题，CMA-ES可能收敛到近似解 \( x^* \approx (1.2, 1.8) \)，目标函数值 \( f(x^ ) \approx 2.1 \)。非线性约束 \( g_ 1(x^ ) \approx -0.9 \) 满足，算法通过自适应调整使分布避开不可行区域（如 \( x_ 1^2 + x_ 2^2 > 4 \) 的区域）。 总结 CMA-ES通过自适应协方差矩阵捕获变量间的关联性，结合约束处理策略，有效处理非凸、振荡目标函数与非线性约束的组合问题。其优势在于无需梯度信息，且自适应机制避免手动参数调优。