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最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法

**最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法** **题目描述** 最小公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA）问题要求找出有根树中两个节点的最近公共祖先节点。例如，在树结构中，节点 \(u\) 和 \(v\) 的公共祖先中深度最大的节点即为它们的 LCA。该问题在树上的路径查询、网络路由优化等领域有广泛应用。倍增算法通过预处理树结构，支持每次查询在 \(O(\log n)\) 时间内完成，适用于多次查询的场景。 --- **解题过程** ### 1. 问题

2025-11-10 20:56:39

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的误差控制技巧

**高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的误差控制技巧** **题目描述** 计算半无穷区间上的带振荡衰减函数的积分： \[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cdot \sin(\omega x) \, dx \] 其中 \(\omega > 0\) 是振荡频率。这类积分常见于阻尼振动模型或拉普拉斯变换的反演问题。直接使用高斯-拉盖尔求积公式（适用于权函数 \(e^{-x}\) 的积分）可能因被积函数的振荡特性导致数值误差增大。需分析误差来源，并设

2025-11-10 20:45:39

基于自注意力机制（Self-Attention）的文本表示学习算法

**基于自注意力机制（Self-Attention）的文本表示学习算法** **题目描述** 自注意力机制（Self-Aightion）是Transformer模型的核心组件，用于学习文本中每个词与其他所有词之间的依赖关系，从而生成上下文感知的向量表示。与传统循环神经网络（RNN）逐词处理序列不同，自注意力通过并行计算全局依赖，有效捕捉长距离交互。本题目将详解自注意力如何计算文本表示，包括输入编码、注意力权重生成、输出聚合等步骤。 **解题过程** 1. **输入表示层**

2025-11-10 20:40:14

CREST分组密码算法的密钥扩展算法

**CREST分组密码算法的密钥扩展算法** ### 题目描述 CREST是一种轻量级分组密码算法，采用SPN（Substitution-Permutation Network）结构，分组长度为64位，密钥长度支持80位或128位。其密钥扩展算法需要将原始密钥扩展为多轮轮密钥（共31轮），每轮轮密钥长度为64位。本题要求详细分析CREST密钥扩展算法的步骤，包括密钥初始化、轮密钥生成逻辑以及算法设计中的关键技巧。 --- ### 解题过程 #### 1. 密钥扩展的基本需

2025-11-10 20:29:33

区间动态规划例题：合并石头的最低成本问题

**区间动态规划例题：合并石头的最低成本问题** **题目描述** 有 N 堆石头排成一排，第 i 堆石头的重量为 stones[i]。你的目标是将所有石头合并成一堆。每次合并操作需要将连续的 K 堆石头合并为一堆，这次合并的成本是这 K 堆石头的总重量。你需要找出将所有石头合并成一堆的最低总成本。如果无法完成合并（例如，N=1, K=2，无法从1堆合并成1堆），则返回 -1。 **解题过程** 1. **问题分析与可行性判断** * **核心观察**：每次合并操作会减少

2025-11-10 20:24:12

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧

**高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧** **题目描述** 计算半无穷区间积分： \[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cdot \sin(x) \, dx \] 该被积函数包含指数衰减因子 \( e^{-x} \) 和振荡部分 \( \sin(x) \)。要求利用高斯-拉盖尔求积公式设计高效算法，通过权函数匹配技巧提高计算精度。 --- **解题过程** 1. **问题分析** - 积分区间为 \([0, \i

2025-11-10 20:01:57

深度强化学习中的分层强化学习（Hierarchical Reinforcement Learning, HRL）框架与Option-Critic算法原理

**深度强化学习中的分层强化学习（Hierarchical Reinforcement Learning, HRL）框架与Option-Critic算法原理** **题目描述** 分层强化学习（HRL）旨在解决传统强化学习在复杂任务中面临的稀疏奖励和长期依赖问题。其核心思想是将任务分解为多个层次的子任务（称为Options），高层策略选择子任务，低层策略执行具体动作。Option-Critic算法是一种基于策略梯度的HRL方法，它通过端到端训练同时学习Options和策略，无需手工设计子任

2025-11-10 19:34:58

并行与分布式系统中的分布式随机游走：并行化Metropolis-Hastings算法

**并行与分布式系统中的分布式随机游走：并行化Metropolis-Hastings算法** **题目描述** 在并行与分布式系统中，随机游走是一种基础的图算法，常用于图采样、PageRank计算和马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）模拟。Metropolis-Hastings算法是MCMC的核心方法，通过设计接受概率使游走收敛到目标分布。本题目要求将Metropolis-Hastings随机游走并行化，使其能在多机或分布式环境中高效运行，同时保证收敛性和负载均衡。 --- **解题过程**

2025-11-10 19:08:29

线性动态规划：最长公共子序列的变种——带字符权重的最长公共子序列（进阶版：允许负权重且要求子序列权重和非负，同时限制某些字符必须连续出现k次）

**线性动态规划：最长公共子序列的变种——带字符权重的最长公共子序列（进阶版：允许负权重且要求子序列权重和非负，同时限制某些字符必须连续出现k次）** **题目描述** 给定两个字符串 `s1` 和 `s2`，每个字符 `c` 有一个权重 `w(c)`（可能为负数）。要求找到 `s1` 和 `s2` 的一个公共子序列，满足： 1. 子序列的权重和（即所有字符权重的总和）非负； 2. 若子序列中某字符 `c` 出现，则必须连续出现至少 `k` 次（`k` 为给定常数）； 3. 子

2025-11-10 19:03:06

最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比）

**最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比）** **题目描述** 最大流问题是图论中的经典问题，旨在从源点 \( s \) 到汇点 \( t \) 的网络中找到能通过边的容量限制的最大流量。Ford-Fulkerson 方法是一种通用框架，通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法继续。其核心实现方式包括： 1. **DFS 实现**：使用深度优先搜索（DFS）寻找增广路径。 2. **Edmonds-Karp 算法**：使用

2025-11-10 18:41:44

自适应高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的局部加密策略

**自适应高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的局部加密策略** **题目描述** 考虑计算定积分 \[ I = \int_a^b f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上存在一个或多个尖锐的峰值（例如高斯型函数 \( e^{-(x-\mu)^2/\sigma^2} \) 当 \(\sigma\) 很小时）。这类函数在峰值区域变化剧烈，而在其他区域相对平缓。若直接使用低阶求积公式（如梯形法）或均匀分区的高阶方法，可能因未能充

2025-11-10 18:36:30

基于条件随机场（CRF）的图像语义分割后处理优化算法

**基于条件随机场（CRF）的图像语义分割后处理优化算法** **题目描述** 条件随机场（CRF）是一种概率图模型，常用于图像语义分割任务的后处理优化。在深度学习模型中（如FCN、U-Net等），网络输出的分割结果往往存在边界模糊、细节丢失等问题。CRF通过建模像素间的空间关系（如相邻像素的相似性、颜色一致性等），对初始分割概率图进行精细化调整，使物体边界更清晰、区域更一致。例如，在PASCAL VOC数据集的经典方法中，CRF被用于优化DeepLab系列模型的输出。 **解题过程**

2025-11-10 18:20:39

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