其中 $ x_i $ 是拉盖尔多项式 $ L_n(x) $ 的根（节点），$ w_i $ 是对应权重。  

 精确值 $ I = \frac{1}{2} = 0.5 $，误差较大，需增加节点数。

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cdot \sin(x) \, dx \] 该被积函数包含指数衰减因子 \( e^{-x} \) 和振荡部分 \( \sin(x) \)。要求利用高斯-拉盖尔求积公式设计高效算法，通过权函数匹配技巧提高计算精度。 解题过程 问题分析 积分区间为 \( [ 0, \infty)\)，被积函数为 \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \)。 直接数值积分可能因振荡和无穷区间导致误差较大。 高斯-拉盖尔求积公式适用于形如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) dx \) 的积分，其权函数 \( w(x) = e^{-x} \) 与被积函数中的衰减因子一致。 高斯-拉盖尔求积公式简介 公式形式： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根（节点），\( w_ i \) 是对应权重。 当 \( g(x) \) 是次数不超过 \( 2n-1 \) 的多项式时，公式精确成立。 权函数匹配技巧 将被积函数写为 \( e^{-x} \cdot \sin(x) \)，显式分离出权函数 \( e^{-x} \)。 令 \( g(x) = \sin(x) \)，则积分转化为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} g(x) dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(x_ i) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i \sin(x_ i) \] 此变换直接匹配高斯-拉盖尔公式的权函数，避免人工截断区间或变量替换引入的误差。 节点与权重的计算 拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \) 可查表或通过数值方法（如Golub-Welsch算法）计算。 例如，当 \( n=2 \) 时： 节点：\( x_ 1 = 2-\sqrt{2} \approx 0.5858, \quad x_ 2 = 2+\sqrt{2} \approx 3.4142 \) 权重：\( w_ 1 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0.8536, \quad w_ 2 = \frac{2-\sqrt{2}}{4} \approx 0.1464 \) 近似积分值： \[ I \approx w_ 1 \sin(x_ 1) + w_ 2 \sin(x_ 2) \approx 0.8536 \times 0.5524 + 0.1464 \times (-0.2856) \approx 0.433 \] 精确值 \( I = \frac{1}{2} = 0.5 \)，误差较大，需增加节点数。 节点数增加与收敛性 增大 \( n \) 可提升精度。例如 \( n=5 \) 时： 节点和权重通过标准表获取，计算得 \( I \approx 0.4997 \)，误差显著减小。 由于 \( \sin(x) \) 是光滑函数，高斯-拉盖尔公式指数收敛。 振荡函数的特殊性处理 若振荡频率更高（如 \( \sin(kx) \)），需增加节点数以分辨振荡。 权函数匹配确保衰减部分被精确处理，剩余振荡部分由节点分布自适应逼近。 总结 通过显式分离权函数 \( e^{-x} \)，高斯-拉盖尔求积公式直接利用标准节点和权重计算积分，避免区间截断误差，尤其适合衰减振荡函数。节点数的增加可有效控制误差，实现高效计算。