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排序算法之：最小交换次数排序（Minimum Swaps to Sort）的图论模型与环分解优化

**排序算法之：最小交换次数排序（Minimum Swaps to Sort）的图论模型与环分解优化** **题目描述** 给定一个包含 `n` 个不同整数的数组 `arr`，数组中的元素是 `0` 到 `n-1` 的任意排列。要求通过交换任意两个元素的位置，将数组升序排列，求所需的最小交换次数。例如：输入：`arr = [4, 3, 2, 1, 0]` 输出：`2`（交换过程可能为：交换索引0和4→[0,3,2,1,4]，再交换索引1和3→[0,1,2,3,4]）。

2025-11-30 06:17:20

石子游戏 VI（博弈类区间DP）

**石子游戏 VI（博弈类区间DP）** **题目描述** Alice 和 Bob 轮流玩一个石子游戏，他们面前有一排石子堆，每堆石子有一个正整数权重。游戏规则如下： - 玩家可以从当前剩余石子堆的**两端**中的任意一端取走一堆石子（即每次只能取最左边或最右边的那一堆）。 - 取走的石子堆的权重会计入该玩家的得分。 - 游戏持续到所有石子堆被取完。 - 两个玩家都采取**最优策略**，且 Alice 先手。 - 目标是自己得分尽可能高，同时让对方得分尽可能低。

2025-11-30 05:13:07

基于RBF代理模型的序列优化方法进阶题

**基于RBF代理模型的序列优化方法进阶题** **题目描述** 考虑非线性约束优化问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² subject to g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0, g₂(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0, -2 ≤ x₁, x₂ ≤ 2. 目标函数f(x)高度非线性，约束条件包含非凸区域。要求使用基于径向基函数（RBF）代理模型的序列优化方法

2025-11-30 05:07:46

基于密度的聚类算法：DENCLUE（Density-Based Clustering）的核心思想与密度吸引子计算过程

**基于密度的聚类算法：DENCLUE（Density-Based Clustering）的核心思想与密度吸引子计算过程** **题目描述** DENCLUE（Density-Based Clustering）是一种基于密度分布的聚类算法，它通过分析数据空间的密度函数（如核密度估计）来识别聚类结构。其核心思想是： 1. **密度吸引子**：每个局部密度极大值点被视为一个密度吸引子，代表一个聚类的中心。 2. **密度吸引**：数据点通过梯度上升被“吸引”到最近的密度吸引子，归属到对

2025-11-30 05:02:32

Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）

**Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）** **题目描述** 给定一个完全二分图 \( G = (X \cup Y, E) \)，其中 \( |X| = |Y| = n \)，每条边 \( (x_i, y_j) \) 有一个权重 \( w_{ij} \)。目标是找到一个完美匹配（每个顶点恰好匹配一次），使得匹配边的权重之和最大。 --- **解题过程** ### 1. 问题转换：最大权匹配 → 最小权匹配通过将权重取负（\( w_{ij} \lefta

2025-11-30 04:25:05

深度学习中优化器的Nesterov加速梯度（NAG）算法原理与实现细节

**深度学习中优化器的Nesterov加速梯度（NAG）算法原理与实现细节** **题目描述** Nesterov加速梯度（Nesterov Accelerated Gradient, NAG）是动量法（Momentum）的改进版本，由Yurii Nesterov提出。它通过提前计算“未来位置”的梯度，实现对优化路径的更精准控制，从而在训练深度神经网络时加速收敛并减少振荡。本题要求深入理解NAG的数学原理、与标准动量法的区别，以及具体实现细节。 **解题过程** **1. 回顾标准

2025-11-30 03:15:52

最长递增子序列的变种——最长递增子序列的长度与具体序列（允许重复元素）

**最长递增子序列的变种——最长递增子序列的长度与具体序列（允许重复元素）** 题目描述：给定一个整数数组nums，找到最长递增子序列（LIS）的长度，并返回其中一个具体的LIS序列。注意：这个变种问题允许子序列中的元素可以重复出现（即非严格递增），但要求返回的序列必须是原数组中的实际元素按原顺序组成的。解题过程： 1. 问题理解：我们需要找到数组中最长的递增子序列（允许相等元素），并返回这个序列本身。这与标准LIS问题不同，标准问题通常只要求长度或任意一个序列，而这里需要构造出具体

2025-11-30 02:32:31

并行与分布式系统中的并行PageRank算法：基于块划分的迭代计算算法

**并行与分布式系统中的并行PageRank算法：基于块划分的迭代计算算法** **题目描述** PageRank是用于衡量网页重要性的经典算法，核心思想是将网页间的链接关系建模为有向图，通过迭代计算每个节点的PageRank值。在并行与分布式系统中，面对大规模图数据（如数十亿网页），需将图划分到多个处理器或节点上并行计算。本题目要求设计一种基于块划分的并行PageRank算法，解决负载均衡、通信开销和收敛性问题。 --- **解题过程** **1. 问题建模与串行算法回

2025-11-30 02:27:16

Krylov子空间方法在控制理论模型降阶中的应用

**Krylov子空间方法在控制理论模型降阶中的应用** **题目描述** 考虑一个大型线性动力系统，其状态空间模型为： \(\dot{x} = Ax + Bu\)， \(y = Cx\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是系统矩阵（\(n\) 很大），\(B \in \mathbb{R}^{n \times p}\) 是输入矩阵，\(C \in \mathbb{R}^{q \times n}\) 是输出矩阵。目标是利用Krylov子

2025-11-30 02:11:26

好的，我们来看一个在密码学中非常重要且应用广泛的算法，它属于**对称密码**领域，但与你之前了解的分组密码和流密码有所不同。这个算法是**HMAC**，但为了避免重复，我们这次深入讲解一个与之紧密相关、但更侧重于其核心构造原理的题目。 **HMAC（基于哈希的消息认证码）算法的构造与安全性分析** **题目描述：** 消息认证码（MAC）是一种用于保证消息完整性和认证性的技术，它确保消息在传输过程中未被篡改，并且来自合法的发送方。HMAC是一种使用密码学哈希函数（如SHA-256）来构造MA

2025-11-30 02:06:11

xxx 最小费用最大流问题的 Successive Shortest Path with Potentials 算法

**xxx 最小费用最大流问题的 Successive Shortest Path with Potentials 算法** **题目描述** 最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow, MCMF）是在一个带权有向图中，每条边有容量限制和单位流量的费用。目标是在满足容量约束的前提下，从源点 \(s\) 到汇点 \(t\) 输送尽可能多的流量，并使得总费用最小。Successive Shortest Path with Potentials 算法是解决该问题的高

2025-11-30 02:00:43

基于Kriging代理模型的序列优化方法进阶题

**基于Kriging代理模型的序列优化方法进阶题** **题目描述** 考虑有约束非线性规划问题： min f(x) s.t. g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m x ∈ R^n 其中f和g_i是计算昂贵的黑箱函数（如仿真模型），无法直接获取梯度。需结合Kriging代理模型（高斯过程回归）构建序列优化算法，逐步逼近最优解。 **解题过程** 1. **Kriging代理模型基础** - Kriging假设函数值服从高斯过程：f(x) ~ GP(

2025-11-30 01:07:19

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