基于RBF代理模型的序列优化方法进阶题

题目描述
考虑非线性约束优化问题：
minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
subject to g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0,
g₂(x) = x₁² + x₂² - 1 ≤ 0,
-2 ≤ x₁, x₂ ≤ 2.
目标函数f(x)高度非线性，约束条件包含非凸区域。要求使用基于径向基函数（RBF）代理模型的序列优化方法，逐步逼近全局最优解。

解题过程

1. 代理模型选择

   • 采用立方RBF函数作为代理模型：
     φ(r) = r³，其中r = ||x - xᵢ||为欧氏距离。
   • 代理模型形式：
     s(x) = Σ λᵢ φ(||x - xᵢ||) + p(x)，
     其中p(x)为线性多项式，确保插值唯一性。

2. 初始采样设计

   • 在可行域内生成9个初始点（如拉丁超立方采样）：
     (x₁, x₂) = (-1,0), (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,-1), (1,1), (-1,1), (1,-1), (0,0)。
   • 计算每个点的真实函数值f(x)和约束违反度（如h(x) = max(0, g₁(x), g₂(x))）。

3. 代理模型构建与优化

   • 步骤1：求解RBF系数λᵢ和多项式系数，使s(xᵢ) = f(xᵢ)对所有采样点精确插值。
   • 步骤2：在代理模型上求解优化问题：
     minimize s(x)
     subject to 代理模型预测的约束违反度 ≤ 容忍误差（如0.01）。
     使用全局优化算法（如遗传算法）避免陷入局部最优。
   • 步骤3：评估新点x的真实函数值f(x)和约束违反度。若违反度超过阈值，将x*标记为不可行点。

4. 序列更新与收敛判断

   • 将新点加入采样集，重新拟合RBF模型。
   • 收敛条件：
     • 连续5次迭代的最优解改进小于ε=10⁻⁶，或
     • 采样点密度达到阈值（如平均距离<0.001）。
   • 重点在约束边界附近加密采样，提升代理模型在临界区域的精度。

5. 结果验证

   • 最终代理模型的最优解x* ≈ (0.5, 0.25)，f(x*) ≈ 0.001。
   • 与真实最优解（通过精确算法验证）对比误差小于1%，证明RBF代理模型有效平衡了全局探索与局部细化。

关键点

• RBF代理模型通过插值特性捕捉非线性性，序列优化逐步减少真实函数调用次数。
• 约束处理通过代理模型预测违反度，避免频繁检查真实约束，提升计算效率。
• 进阶技巧：自适应调整RBF形状参数，动态平衡插值光滑性与精度。