基于Kriging代理模型的序列优化方法进阶题 题目描述 考虑有约束非线性规划问题： min f(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i=1,...,m x ∈ R^n 其中f和g_ i是计算昂贵的黑箱函数（如仿真模型），无法直接获取梯度。需结合Kriging代理模型（高斯过程回归）构建序列优化算法，逐步逼近最优解。 解题过程 Kriging代理模型基础 Kriging假设函数值服从高斯过程：f(x) ~ GP(μ(x), k(x,x'))，其中μ(x)为均值函数（常取常数或多项式），k(x,x')为协方差函数（如平方指数核）。 基于初始样本点X={x₁,...,x_ t}及其函数值Y=f(X)，可得预测均值和方差： μ̂(x) = μ̂ + k(x)ᵀK⁻¹(Y - μ̂) s²(x) = k(x,x) - k(x)ᵀK⁻¹k(x) 其中K为协方差矩阵，k(x)=[ k(x,x₁),...,k(x,x_ t) ]ᵀ。 约束函数g_ i(x)可独立构建Kriging模型，得到(μ̂_ gᵢ(x), s²_ gᵢ(x))。 加点准则设计 目标为平衡探索（高不确定性区域）和利用（最优区域），常用期望改进（EI）准则： 定义当前最优目标值f_ min^+ = min{μ̂(x₁),...,μ̂(x_ t)}。 改进量I(x) = max(f_ min^+ - f(x), 0)，EI(x) = E[ I(x) ]。 考虑不确定性，闭合解为： EI(x) = (f_ min^+ - μ̂(x))Φ(z) + s(x)φ(z) 其中z=(f_ min^+ - μ̂(x))/s(x)，Φ和φ为标准正态分布函数和密度函数。 约束处理：乘以可行概率P_ feas(x) = ∏_ {i=1}^m P(g_ i(x)≤0)。假设g_ i(x)服从正态分布N(μ̂_ gᵢ, s²_ gᵢ)，则P_ feas(x) = ∏Φ(-μ̂_ gᵢ/s_ gᵢ)。 最终加点准则：max EI(x)·P_ feas(x)。 序列优化流程 步骤1 ：生成初始拉丁超立方样本（如20n个点），计算f和g_ i的值。 步骤2 ：拟合Kriging模型，优化超参数（如最大似然估计）。 步骤3 ：优化加点准则（如用遗传算法）得到新点x_ new。 步骤4 ：计算x_ new处的真实函数值，更新样本集。 步骤5 ：检查收敛条件（如最大迭代次数、EI值小于阈值、相对改进量）。若未收敛，返回步骤2。 算法特性与调参 需定期重新拟合Kriging模型，避免过拟合。 权衡探索与探索：EI准则自动平衡，但超参数（如核函数长度尺度）影响模型光滑度。 对高维问题（n>10），需配合降维或局部建模策略。 实例演示 假设优化问题： min f(x)=sin(x)+0.1x², x∈[ 0,10 ] s.t. g(x)=x-8≤0 初始样本x=[ 1,3,5,7 ]，拟合Kriging后，EI最大值出现在x≈6.2（平衡约束边界和目标函数下降）。 加入该点后更新模型，下一次迭代可能探索x≈2（局部最优）或x≈8.5（约束边界外的高不确定性区域），最终收敛至x≈7.8（约束边界处的全局最优）。 通过序列化更新代理模型和加点准则，Kriging方法能以较少真实函数调用高效解决昂贵黑箱优化问题。