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Cholesky分解法解对称正定线性方程组

**Cholesky分解法解对称正定线性方程组** **题目描述** 给定一个n×n的对称正定矩阵A和一个n维向量b，求解线性方程组Ax = b。要求使用Cholesky分解法，将矩阵A分解为下三角矩阵L和其转置L^T的乘积（A = LL^T），然后通过前代和回代法求解x。 **解题过程** 1. **对称正定矩阵的判断** - 对称性：矩阵A必须满足A^T = A，即矩阵元素关于主对角线对称（a_ij = a_ji）。 - 正定性：对于任意非零向量x，都有x^TAx > 0。

2025-10-25 22:53:36

线性规划的分支定界法求解示例

**线性规划的分支定界法求解示例** 题目描述：考虑整数线性规划问题：最大化目标函数 z = 3x₁ + 2x₂，约束条件为 2x₁ + x₂ ≤ 6；4x₁ + 5x₂ ≤ 20；x₁, x₂ ≥ 0，且 x₁, x₂ 为整数。解题过程： 1. **问题理解与放松** 原问题是整数线性规划（ILP），变量需要取整数值。分支定界法的核心思想是，先解决对应的线性规划放松问题（LP relaxation），即暂时忽略整数约束（x₁, x₂ ≥ 0 且为实数）。如果放松问题的最优解自

2025-10-25 22:48:15

区间动态规划例题：最长有效括号子串问题

**区间动态规划例题：最长有效括号子串问题** **题目描述** 给定一个只包含字符 `'('` 和 `')'` 的字符串 `s`，要求找出其中最长的有效（格式正确）括号子串的长度。有效括号子串需满足： - 每个左括号 `'('` 必须有对应的右括号 `')'` 匹配。 - 子串内的括号匹配关系必须连续且正确（例如 `"()()"` 和 `"(())"` 均有效，但 `"())"` 无效）。 **示例** - 输入：`s = "(()"`，输出：`2`（最长有效子串

2025-10-25 22:43:02

线性规划的列生成算法示例

**线性规划的列生成算法示例** **题目描述** 考虑一个资源分配问题：某工厂生产3种产品（A、B、C），需要2种原料（X、Y）。产品利润和原料消耗如下： - 产品A：利润4元，消耗X原料3单位，Y原料1单位 - 产品B：利润5元，消耗X原料2单位，Y原料4单位 - 产品C：利润6元，消耗X原料1单位，Y原料3单位原料限制：X原料总量100单位，Y原料总量80单位。由于产品组合可能很多，我们采用列生成方法求解。 **解题过程** **第一步：建立主问题和受限主问题** 主问题的

2025-10-25 22:37:44

区间动态规划例题：移除盒子问题

**区间动态规划例题：移除盒子问题** **题目描述** 给定一个整数数组 `boxes`，其中不同的整数表示不同颜色的盒子。每次操作，你可以移除连续相同颜色的 `k` 个盒子（k ≥ 1），并获得 `k * k` 分。求最多能获得多少分。 **示例** 输入：`boxes = [1,3,2,2,2,3,4,3,1]` 输出：`23` 解释：移除顺序示例： 1. 移除三个连续的 2（颜色 2），得分 3×3=9 → `[1,3,3,4,3,1]` 2. 移除一个

2025-10-25 22:32:32

**A*搜索算法** 题目描述：A*搜索算法是一种在图形或网格中寻找从起点到终点的最短路径的启发式搜索算法。它通过评估函数 f(n) = g(n) + h(n) 来选择最有希望的节点进行扩展，其中 g(n) 是从起点到节点 n 的实际代价，h(n) 是从节点 n 到终点的预估代价（启发式函数）。解题过程： 1. **核心思想与评估函数** A*算法的目标是高效地找到最短路径。它维护两个列表： * **开放列表**：存放待考察的节点。 * **关闭列表**

2025-10-25 22:27:15

高斯-勒让德求积公式的高精度应用

**高斯-勒让德求积公式的高精度应用** 题目描述：计算积分 \[ I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} dx \] 要求使用 **2节点** 和 **3节点** 的高斯-勒让德求积公式分别求解，并比较结果的精度。已知该积分的精确值约为 **2.403939**（第一类修正贝塞尔函数 \(I_0(1)\) 的 \(2\pi\) 倍）。 --- ### 解题步骤 #### 1. 理解高斯-勒让德求积公式对于积分 \(\

2025-10-25 22:21:56

非线性规划中的简约梯度法基础题

**非线性规划中的简约梯度法基础题** **题目描述**：考虑以下带有线性等式约束的非线性规划问题：最小化函数 \( f(x)1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \) 满足约束条件： \( x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 \) 且 \( x_1, x_2, x_3 \geq 0 \)。要求使用简约梯度法来求解该问题。请详细解释如何确定初始可行点、如何进行变量分解、如何计算简约梯度、如何确定搜索方向，以及如何进行一维线搜索找到新的迭代点。

2025-10-25 22:16:35

线性规划的两阶段法求解示例

**线性规划的两阶段法求解示例** 题目描述：考虑以下线性规划问题：最大化：\( z = 3x_1 + 2x_2 \) 约束条件： 1. \( 2x_1 + x_2 \geq 4 \) 2. \( 3x_1 + 4x_2 \geq 6 \) 3. \( x_1 + x_2 \leq 3 \) 4. \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \) 注意，这个问题包含“≥”和“≤”两种类型的不等式约束，并且目标函数是最大化。我们将使用两阶段法来求解。解题过程：第一阶段：引入

2025-10-25 22:10:53

LU分解法解线性方程组

**LU分解法解线性方程组** **题目描述：** 给定一个n阶可逆方阵A和一个n维向量b，我们需要求解线性方程组Ax = b。要求使用LU分解法，将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。然后通过求解两个三角方程组Ly = b和Ux = y来得到原方程组的解x。 **解题过程：** **第一步：理解LU分解法的核心思想** LU分解法的基本思路是将一个复杂的矩阵A分解为两个结构简单的三角矩阵L和U的乘积。这样，求解原方程组Ax = b就转化为依次求解两个易于

2025-10-25 22:05:14

合并K个升序链表

**合并K个升序链表** **题目描述** 给你一个链表数组，每个链表都已经按升序排列。请你将所有链表合并到一个升序链表中，并返回合并后的链表。 **解题过程** 1. **问题分析** - 输入是K个已经排序的链表，每个链表可能长度不同。 - 目标是合并所有链表，保持整体升序。 - 直接两两合并（如先合并前两个，再合并结果与第三个）效率较低，时间复杂度为O(K² * 平均链表长度)。 2. **关键思路** - 使用**最小堆（优先队列）**优化

2025-10-25 21:59:50

非线性规划中的Zoutendijk可行方向法基础题

**非线性规划中的Zoutendijk可行方向法基础题** **题目描述：** 考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁² + x₂² - 8 ≤ 0 初始可行点为 x⁰ = (0, 1)ᵀ 要求使用Zoutendijk可行方向法求解该问题，详细说明前两次迭代过程。 **解题过程：** **第一步：算法原理介绍** Zoutendijk可行方向法的核心思想是：

2025-10-25 21:54:41

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