非线性规划中的简约梯度法基础题
字数 5427 2025-10-25 22:39:20

非线性规划中的简约梯度法基础题

题目描述：
考虑以下带有线性等式约束的非线性规划问题：
最小化函数 \(f(x)1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\)
满足约束条件： \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6\)
且 \(x_1, x_2, x_3 \geq 0\)。

要求使用简约梯度法来求解该问题。请详细解释如何确定初始可行点、如何进行变量分解、如何计算简约梯度、如何确定搜索方向，以及如何进行一维线搜索找到新的迭代点。

解题过程：

第一步：理解问题与算法思想

  1. 问题分析：我们的目标是最小化一个二次函数 \(f(\mathbf{x})\)，这个函数是凸的。约束条件是一个线性等式，并且所有变量都有非负要求。这是一个典型的带有线性等式和边界约束的非线性规划问题。
  2. 算法思想：简约梯度法是求解此类问题的经典方法。它的核心思想是将约束优化问题转化为一个降维的无约束优化问题。通过利用线性等式约束，我们可以将一部分变量（非基变量）用另一部分变量（基变量）来表示。这样，目标函数就可以只用非基变量来表达，这个新函数的梯度就称为“简约梯度”。然后，我们就可以沿着简约梯度的负方向（或类似方向）进行搜索，但要小心处理变量的非负约束。

第二步：寻找初始可行点并分解变量

  1. 初始可行点：我们需要找到一个满足所有约束的点 \(\mathbf{x}^{(0)}\)。对于这个简单的等式 \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6\)，一个直观的可行点是令 \(x_2 = 0\), \(x_3 = 0\)，则 \(x_1 = 6\)。这个点也满足非负约束。因此，我们选择初始点 \(\mathbf{x}^{(0)} = (6, 0, 0)^T\)。
  2. 变量分解：我们将变量分为“基变量”和“非基变量”。
    • 基变量 ( \(\mathbf{x}_B\) )：通常选择那些在初始点处不为0（或远离其边界）的变量。在点 \((6, 0, 0)\)，\(x_1\) 远大于0，而 \(x_2\) 和 \(x_3\) 正好在边界0上。因此，我们选择 \(x_1\) 作为基变量。
    • 非基变量 ( \(\mathbf{x}_N\) )：剩下的变量 \(x_2\) 和 \(x_3\)。
      于是，\(\mathbf{x}_B = x_1\), \(\mathbf{x}_N = (x_2, x_3)^T\)。
  3. 用非基变量表示基变量：从等式约束 \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6\) 中，我们可以解出基变量 \(x_1\)：
    \(x_1 = 6 - 2x_2 - 3x_3\)。
    这样，只要 \(\mathbf{x}_N\) 确定，\(\mathbf{x}_B\) 也就被唯一确定了，并且满足等式约束。

第三步：构造简约问题并计算简约梯度

  1. 简约问题：将 \(x_1 = 6 - 2x_2 - 3x_3\) 代入原目标函数 \(f(x_1, x_2, x_3)\) 中，得到一个新的函数 \(\bar{f}(\mathbf{x}_N)\)，这个函数只依赖于非基变量 \(x_2\) 和 \(x_3\)：
    \(\bar{f}(x_2, x_3) = (6 - 2x_2 - 3x_3)^2 + x_2^2 + x_3^2\)。
    这个 \(\bar{f}(\mathbf{x}_N)\) 称为简约问题的目标函数。现在，我们只需要在 \(x_2 \geq 0, x_3 \geq 0\) 的条件下最小化 \(\bar{f}\)，而无需再显式地考虑等式约束。

  2. 计算简约梯度 ( \(\mathbf{r}\) )：简约梯度 \(\mathbf{r}\) 就是简约函数 \(\bar{f}(\mathbf{x}_N)\) 关于非基变量 \(\mathbf{x}_N\) 的梯度。

    • 首先计算原函数梯度 \(\nabla f(\mathbf{x}) = (2x_1, 2x_2, 2x_3)^T\)。
    • 将梯度按基变量和非基变量分块：\(\nabla_B f = 2x_1\)（关于 \(x_1\) 的偏导），\(\nabla_N f = (2x_2, 2x_3)^T\)（关于 \(x_2, x_3\) 的偏导）。
    • 将等式约束系数矩阵也分块：约束为 \((1, 2, 3) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 6\)，所以系数矩阵 \(A = (1, 2, 3)\)。相应地，\(A_B = 1\)（\(x_1\) 的系数），\(A_N = (2, 3)\)（\(x_2, x_3\) 的系数）。
    • 简约梯度的通用计算公式为：\(\mathbf{r} = \nabla_N f(\mathbf{x}) - A_N^T (A_B^{-1})^T \nabla_B f(\mathbf{x})\)。
      在我们的例子中，\(A_B = 1\)，所以 \(A_B^{-1} = 1\)。
      因此，\(\mathbf{r} = \nabla_N f(\mathbf{x}) - A_N^T \nabla_B f(\mathbf{x})\)。
    • 在初始点 \(\mathbf{x}^{(0)} = (6, 0, 0)\) 处：
      \(\nabla_B f = 2*6 = 12\)
      \(\nabla_N f = (2*0, 2*0)^T = (0, 0)^T\)
      \(A_N^T = (2, 3)^T\)
      所以，简约梯度 \(\mathbf{r} = (0, 0)^T - (2, 3)^T * 12 = (-24, -36)^T\)。

第四步：确定搜索方向 ( \(\mathbf{d}\) )

搜索方向由非基变量的移动方向 \(\mathbf{d}_N\) 和基变量的相应移动方向 \(\mathbf{d}_B\) 组成。

  1. 确定非基变量的搜索方向 \(\mathbf{d}_N\)：规则是，对于非基变量的每个分量 \(i\)：

    • 如果 \(x_i = 0\) 且 \(r_i > 0\)，则 \(d_i = 0\)（防止违反非负约束）。
    • 否则，\(d_i = -r_i\)（类似于最速下降法）。
      在初始点，\(\mathbf{x}_N = (0, 0)^T\)，简约梯度 \(\mathbf{r} = (-24, -36)^T\)。
    • 对于 \(x_2 = 0\)，但 \(r_2 = -24 < 0\)，所以 \(d_2 = -(-24) = 24\)。
    • 对于 \(x_3 = 0\)，但 \(r_3 = -36 < 0\)，所以 \(d_3 = -(-36) = 36\)。
      因此，\(\mathbf{d}_N = (24, 36)^T\)。

  2. 确定基变量的搜索方向 \(\mathbf{d}_B\)：为了保证新的点仍然满足等式约束，基变量的移动方向必须与非基变量的移动方向协调。公式为：
    \(\mathbf{d}_B = -A_B^{-1} A_N \mathbf{d}_N\)。
    代入数值：\(\mathbf{d}_B = -1 * (2, 3) \begin{pmatrix} 24 \\ 36 \end{pmatrix} = - (2*24 + 3*36) = - (48 + 108) = -156\)。
    所以，\(d_1 = -156\)。

  3. 完整的搜索方向：在原始变量空间，搜索方向为 \(\mathbf{d}^{(0)} = (d_1, d_2, d_3)^T = (-156, 24, 36)^T\)。

第五步：一维线搜索确定步长

现在我们沿着方向 \(\mathbf{d}^{(0)}\) 从点 \(\mathbf{x}^{(0)}\) 进行搜索，找到使函数值下降最多的步长 \(\alpha\)。新的迭代点为 \(\mathbf{x}^{(1)} = \mathbf{x}^{(0)} + \alpha \mathbf{d}^{(0)}\)。

  1. 确定最大允许步长 \(\alpha_{max}\)：由于有非负约束 \(x \geq 0\)，我们需要确保新点的所有分量非负。
    \(x^{(1)}(\alpha) = (6 - 156\alpha, 0 + 24\alpha, 0 + 36\alpha)^T\)。
    令每个分量 \(\geq 0\)：

    • \(6 - 156\alpha \geq 0\) -> \(\alpha \leq 6/156 = 1/26 \approx 0.03846\)
    • \(24\alpha \geq 0\) -> \(\alpha \geq 0\)（恒成立，因为 \(\alpha > 0\)）
    • \(36\alpha \geq 0\) -> \(\alpha \geq 0\)（恒成立）
      所以，最大允许步长 \(\alpha_{max} = 1/26\)。

  2. 精确线搜索：我们在区间 \((0, \alpha_{max}]\) 上最小化函数 \(\phi(\alpha) = f(\mathbf{x}^{(0)} + \alpha \mathbf{d}^{(0)})\)。
    \(\phi(\alpha) = (6 - 156\alpha)^2 + (24\alpha)^2 + (36\alpha)^2\)
    \(= 36 - 1872\alpha + 24336\alpha^2 + 576\alpha^2 + 1296\alpha^2\)
    \(= 36 - 1872\alpha + (24336+576+1296)\alpha^2\)
    \(= 36 - 1872\alpha + 26208\alpha^2\)。

    对 \(\phi(\alpha)\) 求导并令导数为零，以找到最优 \(\alpha^*\)：
    \(\phi'(\alpha) = -1872 + 2 * 26208 \alpha = -1872 + 52416\alpha = 0\)。
    \(\alpha^* = 1872 / 52416 = 1 / 28 \approx 0.03571\)。

    因为 \(\alpha^* = 1/28 \approx 0.03571 < \alpha_{max} = 1/26 \approx 0.03846\)，所以最优步长就是 \(\alpha^* = 1/28\)。

第六步：计算新点并检查收敛性

  1. 计算新点 \(\mathbf{x}^{(1)}\)：
    \(x_1^{(1)} = 6 - 156 * (1/28) = 6 - 156/28 = 6 - 39/7 = (42 - 39)/7 = 3/7\)
    \(x_2^{(1)} = 0 + 24 * (1/28) = 24/28 = 6/7\)
    \(x_3^{(1)} = 0 + 36 * (1/28) = 36/28 = 9/7\)
    所以，\(\mathbf{x}^{(1)} = (3/7, 6/7, 9/7)^T\)。

  2. 检查收敛：我们可以计算新点的简约梯度来判断是否接近最优点。

    • 在新点 \(\mathbf{x}^{(1)}\)：\(\nabla_B f = 2*(3/7) = 6/7\)，\(\nabla_N f = (2*(6/7), 2*(9/7))^T = (12/7, 18/7)^T\)。
    • 简约梯度 \(\mathbf{r} = \nabla_N f - A_N^T \nabla_B f = (12/7, 18/7)^T - (2, 3)^T * (6/7) = (12/7 - 12/7, 18/7 - 18/7)^T = (0, 0)^T\)。
      简约梯度为0，这意味着在当前的活动约束集（即选择的基变量和非基变量划分方式）下，我们已经找到了一个稳定点。可以验证，这个点 \((3/7, 6/7, 9/7)\) 确实是原问题的最优解（例如，用拉格朗日法可求得相同结果）。

总结：
通过以上步骤，我们使用简约梯度法成功求解了这个带线性等式和非负约束的非线性规划问题。整个过程包括：初始化可行点、变量分解、计算简约梯度、确定可行的下降方向、进行线搜索，并最终收敛到最优解。

非线性规划中的简约梯度法基础题 题目描述 ： 考虑以下带有线性等式约束的非线性规划问题： 最小化函数 \( f(x)1, x_ 2, x_ 3) = x_ 1^2 + x_ 2^2 + x_ 3^2 \) 满足约束条件： \( x_ 1 + 2x_ 2 + 3x_ 3 = 6 \) 且 \( x_ 1, x_ 2, x_ 3 \geq 0 \)。 要求使用简约梯度法来求解该问题。请详细解释如何确定初始可行点、如何进行变量分解、如何计算简约梯度、如何确定搜索方向，以及如何进行一维线搜索找到新的迭代点。 解题过程 ： 第一步：理解问题与算法思想 问题分析 ：我们的目标是最小化一个二次函数 \( f(\mathbf{x}) \)，这个函数是凸的。约束条件是一个线性等式，并且所有变量都有非负要求。这是一个典型的带有线性等式和边界约束的非线性规划问题。 算法思想 ：简约梯度法是求解此类问题的经典方法。它的核心思想是将约束优化问题转化为一个降维的无约束优化问题。通过利用线性等式约束，我们可以将一部分变量（非基变量）用另一部分变量（基变量）来表示。这样，目标函数就可以只用非基变量来表达，这个新函数的梯度就称为“简约梯度”。然后，我们就可以沿着简约梯度的负方向（或类似方向）进行搜索，但要小心处理变量的非负约束。 第二步：寻找初始可行点并分解变量 初始可行点 ：我们需要找到一个满足所有约束的点 \( \mathbf{x}^{(0)} \)。对于这个简单的等式 \( x_ 1 + 2x_ 2 + 3x_ 3 = 6 \)，一个直观的可行点是令 \( x_ 2 = 0 \), \( x_ 3 = 0 \)，则 \( x_ 1 = 6 \)。这个点也满足非负约束。因此，我们选择初始点 \( \mathbf{x}^{(0)} = (6, 0, 0)^T \)。 变量分解 ：我们将变量分为“基变量”和“非基变量”。 基变量 ( \( \mathbf{x}_ B \) ) ：通常选择那些在初始点处不为0（或远离其边界）的变量。在点 \( (6, 0, 0) \)，\( x_ 1 \) 远大于0，而 \( x_ 2 \) 和 \( x_ 3 \) 正好在边界0上。因此，我们选择 \( x_ 1 \) 作为基变量。 非基变量 ( \( \mathbf{x}_ N \) ) ：剩下的变量 \( x_ 2 \) 和 \( x_ 3 \)。 于是，\( \mathbf{x}_ B = x_ 1 \), \( \mathbf{x}_ N = (x_ 2, x_ 3)^T \)。 用非基变量表示基变量 ：从等式约束 \( x_ 1 + 2x_ 2 + 3x_ 3 = 6 \) 中，我们可以解出基变量 \( x_ 1 \)： \( x_ 1 = 6 - 2x_ 2 - 3x_ 3 \)。 这样，只要 \( \mathbf{x}_ N \) 确定，\( \mathbf{x}_ B \) 也就被唯一确定了，并且满足等式约束。 第三步：构造简约问题并计算简约梯度 简约问题 ：将 \( x_ 1 = 6 - 2x_ 2 - 3x_ 3 \) 代入原目标函数 \( f(x_ 1, x_ 2, x_ 3) \) 中，得到一个新的函数 \( \bar{f}(\mathbf{x}_ N) \)，这个函数只依赖于非基变量 \( x_ 2 \) 和 \( x_ 3 \)： \( \bar{f}(x_ 2, x_ 3) = (6 - 2x_ 2 - 3x_ 3)^2 + x_ 2^2 + x_ 3^2 \)。 这个 \( \bar{f}(\mathbf{x}_ N) \) 称为 简约问题 的目标函数。现在，我们只需要在 \( x_ 2 \geq 0, x_ 3 \geq 0 \) 的条件下最小化 \( \bar{f} \)，而无需再显式地考虑等式约束。 计算简约梯度 ( \( \mathbf{r} \) ) ：简约梯度 \( \mathbf{r} \) 就是简约函数 \( \bar{f}(\mathbf{x}_ N) \) 关于非基变量 \( \mathbf{x}_ N \) 的梯度。 首先计算原函数梯度 \( \nabla f(\mathbf{x}) = (2x_ 1, 2x_ 2, 2x_ 3)^T \)。 将梯度按基变量和非基变量分块：\( \nabla_ B f = 2x_ 1 \)（关于 \( x_ 1 \) 的偏导），\( \nabla_ N f = (2x_ 2, 2x_ 3)^T \)（关于 \( x_ 2, x_ 3 \) 的偏导）。 将等式约束系数矩阵也分块：约束为 \( (1, 2, 3) \begin{pmatrix} x_ 1 \\ x_ 2 \\ x_ 3 \end{pmatrix} = 6 \)，所以系数矩阵 \( A = (1, 2, 3) \)。相应地，\( A_ B = 1 \)（\( x_ 1 \) 的系数），\( A_ N = (2, 3) \)（\( x_ 2, x_ 3 \) 的系数）。 简约梯度的通用计算公式为 ：\( \mathbf{r} = \nabla_ N f(\mathbf{x}) - A_ N^T (A_ B^{-1})^T \nabla_ B f(\mathbf{x}) \)。 在我们的例子中，\( A_ B = 1 \)，所以 \( A_ B^{-1} = 1 \)。 因此，\( \mathbf{r} = \nabla_ N f(\mathbf{x}) - A_ N^T \nabla_ B f(\mathbf{x}) \)。 在初始点 \( \mathbf{x}^{(0)} = (6, 0, 0) \) 处： \( \nabla_ B f = 2 6 = 12 \) \( \nabla_ N f = (2 0, 2 0)^T = (0, 0)^T \) \( A_ N^T = (2, 3)^T \) 所以，简约梯度 \( \mathbf{r} = (0, 0)^T - (2, 3)^T 12 = (-24, -36)^T \)。 第四步：确定搜索方向 ( \( \mathbf{d} \) ) 搜索方向由非基变量的移动方向 \( \mathbf{d}_ N \) 和基变量的相应移动方向 \( \mathbf{d}_ B \) 组成。 确定非基变量的搜索方向 \( \mathbf{d}_ N \) ：规则是，对于非基变量的每个分量 \( i \)： 如果 \( x_ i = 0 \) 且 \( r_ i > 0 \)，则 \( d_ i = 0 \)（防止违反非负约束）。 否则，\( d_ i = -r_ i \)（类似于最速下降法）。 在初始点，\( \mathbf{x}_ N = (0, 0)^T \)，简约梯度 \( \mathbf{r} = (-24, -36)^T \)。 对于 \( x_ 2 = 0 \)，但 \( r_ 2 = -24 < 0 \)，所以 \( d_ 2 = -(-24) = 24 \)。 对于 \( x_ 3 = 0 \)，但 \( r_ 3 = -36 < 0 \)，所以 \( d_ 3 = -(-36) = 36 \)。 因此，\( \mathbf{d}_ N = (24, 36)^T \)。 确定基变量的搜索方向 \( \mathbf{d}_ B \) ：为了保证新的点仍然满足等式约束，基变量的移动方向必须与非基变量的移动方向协调。公式为： \( \mathbf{d}_ B = -A_ B^{-1} A_ N \mathbf{d}_ N \)。 代入数值：\( \mathbf{d}_ B = -1 * (2, 3) \begin{pmatrix} 24 \\ 36 \end{pmatrix} = - (2 24 + 3 36) = - (48 + 108) = -156 \)。 所以，\( d_ 1 = -156 \)。 完整的搜索方向 ：在原始变量空间，搜索方向为 \( \mathbf{d}^{(0)} = (d_ 1, d_ 2, d_ 3)^T = (-156, 24, 36)^T \)。 第五步：一维线搜索确定步长 现在我们沿着方向 \( \mathbf{d}^{(0)} \) 从点 \( \mathbf{x}^{(0)} \) 进行搜索，找到使函数值下降最多的步长 \( \alpha \)。新的迭代点为 \( \mathbf{x}^{(1)} = \mathbf{x}^{(0)} + \alpha \mathbf{d}^{(0)} \)。 确定最大允许步长 \( \alpha_ {max} \) ：由于有非负约束 \( x \geq 0 \)，我们需要确保新点的所有分量非负。 \( x^{(1)}(\alpha) = (6 - 156\alpha, 0 + 24\alpha, 0 + 36\alpha)^T \)。 令每个分量 \( \geq 0 \)： \( 6 - 156\alpha \geq 0 \) -> \( \alpha \leq 6/156 = 1/26 \approx 0.03846 \) \( 24\alpha \geq 0 \) -> \( \alpha \geq 0 \)（恒成立，因为 \( \alpha > 0 \)） \( 36\alpha \geq 0 \) -> \( \alpha \geq 0 \)（恒成立） 所以，最大允许步长 \( \alpha_ {max} = 1/26 \)。 精确线搜索 ：我们在区间 \( (0, \alpha_ {max} ] \) 上最小化函数 \( \phi(\alpha) = f(\mathbf{x}^{(0)} + \alpha \mathbf{d}^{(0)}) \)。 \( \phi(\alpha) = (6 - 156\alpha)^2 + (24\alpha)^2 + (36\alpha)^2 \) \( = 36 - 1872\alpha + 24336\alpha^2 + 576\alpha^2 + 1296\alpha^2 \) \( = 36 - 1872\alpha + (24336+576+1296)\alpha^2 \) \( = 36 - 1872\alpha + 26208\alpha^2 \)。 对 \( \phi(\alpha) \) 求导并令导数为零，以找到最优 \( \alpha^* \)： \( \phi'(\alpha) = -1872 + 2 * 26208 \alpha = -1872 + 52416\alpha = 0 \)。 \( \alpha^* = 1872 / 52416 = 1 / 28 \approx 0.03571 \)。 因为 \( \alpha^* = 1/28 \approx 0.03571 < \alpha_ {max} = 1/26 \approx 0.03846 \)，所以最优步长就是 \( \alpha^* = 1/28 \)。 第六步：计算新点并检查收敛性 计算新点 \( \mathbf{x}^{(1)} \) ： \( x_ 1^{(1)} = 6 - 156 * (1/28) = 6 - 156/28 = 6 - 39/7 = (42 - 39)/7 = 3/7 \) \( x_ 2^{(1)} = 0 + 24 * (1/28) = 24/28 = 6/7 \) \( x_ 3^{(1)} = 0 + 36 * (1/28) = 36/28 = 9/7 \) 所以，\( \mathbf{x}^{(1)} = (3/7, 6/7, 9/7)^T \)。 检查收敛 ：我们可以计算新点的简约梯度来判断是否接近最优点。 在新点 \( \mathbf{x}^{(1)} \)：\( \nabla_ B f = 2* (3/7) = 6/7 \)，\( \nabla_ N f = (2* (6/7), 2* (9/7))^T = (12/7, 18/7)^T \)。 简约梯度 \( \mathbf{r} = \nabla_ N f - A_ N^T \nabla_ B f = (12/7, 18/7)^T - (2, 3)^T * (6/7) = (12/7 - 12/7, 18/7 - 18/7)^T = (0, 0)^T \)。 简约梯度为0，这意味着在当前的活动约束集（即选择的基变量和非基变量划分方式）下，我们已经找到了一个稳定点。可以验证，这个点 \( (3/7, 6/7, 9/7) \) 确实是原问题的最优解（例如，用拉格朗日法可求得相同结果）。 总结 ： 通过以上步骤，我们使用简约梯度法成功求解了这个带线性等式和非负约束的非线性规划问题。整个过程包括：初始化可行点、变量分解、计算简约梯度、确定可行的下降方向、进行线搜索，并最终收敛到最优解。