高斯-勒让德求积公式的高精度应用
题目描述：
计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]
要求使用 2节点 和 3节点 的高斯-勒让德求积公式分别求解，并比较结果的精度。已知该积分的精确值约为 2.403939（第一类修正贝塞尔函数 \(I_0(1)\) 的 \(2\pi\) 倍）。
解题步骤
1. 理解高斯-勒让德求积公式
对于积分 \(\int_{-1}^{1} f(x)dx\)，n节点高斯-勒让德公式 的通用形式为：
\[\int_{-1}^{1} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中 \(x_i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式 \(P_n(x)\) 的根（节点），\(w_i\) 是对应的权重。节点和权重对于固定的 \(n\) 是标准化的，可查表获得。
2. 应用 2 节点公式（n=2）
-
节点与权重（查表可得）：
\(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.57735027,\quad x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735027\)
\(w_1 = w_2 = 1\) -
计算过程：
设被积函数 \(f(x) = \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}}\)，则：
\[ I \approx w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) = f(-0.57735) + f(0.57735) \]
分别计算：
\(f(-0.57735) = \frac{\cos(-0.57735)}{\sqrt{1-(-0.57735)^2}} = \frac{\cos 0.57735}{\sqrt{1-0.33333}} \approx \frac{0.83747}{\sqrt{0.66667}} \approx \frac{0.83747}{0.81650} \approx 1.02570\)
\(f(0.57735) = \frac{\cos 0.57735}{\sqrt{1-0.33333}} \approx 1.02570\)
因此：
\[ I \approx 1.02570 + 1.02570 = 2.05140 \]
- 误差分析：
精确值 \(I_{\text{exact}} \approx 2.403939\)，绝对误差为：
\[ |2.05140 - 2.403939| \approx 0.35254 \]
3. 应用 3 节点公式（n=3）
-
节点与权重（查表）：
\(x_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}} \approx -0.77459667,\quad x_2 = 0,\quad x_3 = 0.77459667\)
\(w_1 = \frac{5}{9} \approx 0.555556,\quad w_2 = \frac{8}{9} \approx 0.888889,\quad w_3 = \frac{5}{9} \approx 0.555556\) -
计算过程：
\[ I \approx w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) + w_3 f(x_3) \]
逐项计算：
- \(f(x_1) = \frac{\cos(-0.77460)}{\sqrt{1-(-0.77460)^2}} = \frac{\cos 0.77460}{\sqrt{1-0.60000}} \approx \frac{0.71407}{\sqrt{0.40000}} \approx \frac{0.71407}{0.63246} \approx 1.12911\)
- \(f(x_2) = \frac{\cos 0}{\sqrt{1-0}} = \frac{1}{1} = 1\)
- \(f(x_3) \approx 1.12911\)（由对称性）
代入公式：
\[ I \approx 0.555556 \times 1.12911 + 0.888889 \times 1 + 0.555556 \times 1.12911 \approx 0.62673 + 0.88889 + 0.62673 = 2.14235 \]
- 误差分析：
\[ |2.14235 - 2.403939| \approx 0.26159 \]
4. 结果对比与结论
- 2节点结果：2.05140，误差约 0.35254
- 3节点结果：2.14235，误差约 0.26159
- 结论：
- 3节点公式的精度显著高于2节点公式（误差减少约26%），符合高斯求积公式“节点数增加则代数精度提高”的特性。
- 由于被积函数 \(\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x=\pm 1\) 处奇异性较强（分母为零），高斯公式通过避开端点并优化节点位置，仍能给出合理近似。若需更高精度，可增加节点数或使用针对奇异积分的专用方法。