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xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法）

**xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法）** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且其所有边的权重之和最小。Reverse-Delete 算法通过从原图中逐步删除边来构造 MST，其核心思想是：**按权重从大到小的顺序考虑每条边，若删除该边后图仍连通，则将其移除**。

2025-11-19 11:36:09

xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法）

**xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法）** **问题描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到一个边的子集 \( T \subseteq E \)，使得图 \( G \) 在保留边集 \( T \) 后仍然连通，并且所有边的权重之和 \( \sum_{e \in T} w(e) \) 最小。这样的子集 \( T \) 称为图 \( G \) 的最小生成树（Mini

2025-11-19 04:19:21

xxx Floyd-Warshall算法求解所有顶点对最短路径

**xxx Floyd-Warshall算法求解所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个带权有向图，图中可能包含负权边但不包含负权环。要求计算图中任意两个顶点之间的最短路径长度。具体来说，给定图G=(V,E)和边权函数w: E→R，我们需要计算一个|V|×|V|的矩阵D，其中D[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径距离。 **解题过程详解** **1. 问题分析** - 单源最短路径算法（如Dijkstra、Bellman-Ford）只能计算从一个顶点到其他所有顶点的最短路径

2025-11-18 19:45:24

xxx 最小点覆盖问题（二分图上的匈牙利算法应用）

**xxx 最小点覆盖问题（二分图上的匈牙利算法应用）** ### 题目描述最小点覆盖问题是指在给定的无向图中，找到一个顶点集合，使得图中的每条边至少有一个端点在这个集合中，同时要求这个集合的顶点数量尽可能少。在二分图中，这个问题可以通过 König 定理转化为二分图的最大匹配问题，并利用匈牙利算法高效求解。 ### 解题过程 #### 1. 问题分析 - **最小点覆盖定义**：在无向图 \( G = (V, E) \) 中，点覆盖 \( C \subseteq V \) 满足每条边 \

2025-11-18 11:01:30

xxx 有向无环图（DAG）中的拓扑排序算法

**xxx 有向无环图（DAG）中的拓扑排序算法** **问题描述** 给定一个有向无环图（DAG），要求输出一个顶点的线性序列，使得对于图中任意一条有向边 \( u \to v \)，在序列中顶点 \( u \) 都出现在顶点 \( v \) 的前面。这种序列称为拓扑排序（Topological Sorting）。拓扑排序常用于任务调度、依赖关系分析等场景。 --- **解题过程** ### 1. 理解拓扑排序的核心性质 - **有向无环图（DAG）**：图中不存在任何环，否则

2025-11-18 01:58:16

xxx 最大流问题（Capacity Scaling 优化）

**xxx 最大流问题（Capacity Scaling 优化）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），以及一个源点（source）和一个汇点（sink），求从源点到汇点的最大流。Capacity Scaling 是一种优化策略，通常用于 Ford-Fulkerson 类算法（如 Edmonds-Karp 或 DFS 实现），通过逐步考虑更高容量的边来减少增广路径的查找次数，提升算法效率。 --- **解题过程** **1. 基本概念

2025-11-17 21:28:07

最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）

**最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）** 我将为您详细讲解最小费用最大流问题中的Successive Shortest Path with Potentials算法，这是一个结合了最短路径和网络流思想的经典算法。 **问题描述** 最小费用最大流问题是指在一个有向图中，每条边有容量限制和单位流量费用，我们需要找到从源点s到汇点t的最大流，并且使得总费用最小。这是网络流问题的一个重要变种，在实际应用中非常广泛，如物流运

2025-11-17 21:06:45

xxx 有向无环图（DAG）中的最长路径问题

**xxx 有向无环图（DAG）中的最长路径问题** **问题描述** 给定一个带边权的有向无环图（DAG），每条边有一个实数权重（可以是正数、负数或零）。要求找到从任意起点到任意终点的最长路径，即路径上所有边的权重之和最大的路径。若图中存在负权边，但无正权环（DAG 无环，故不可能有环）。该问题在项目调度、关键路径分析等领域有重要应用。 --- **解题步骤** **1. 理解 DAG 的性质与问题转化** - DAG 具有拓扑排序性质，即存在顶点线性排列，使得所有边均从排在前

2025-11-17 18:06:46

最大流问题（Push-Relabel 算法）

**最大流问题（Push-Relabel 算法）** 我将为您详细讲解图论中的最大流问题及其Push-Relabel算法解法。 **问题描述** 最大流问题是指在一个有向图中，给定源点s和汇点t，每条边有一个非负容量，求从s到t的最大流量。Push-Relabel算法是解决此问题的高效方法，时间复杂度为O(V²E)或O(V³)。 **算法核心思想** Push-Relabel算法采用"局部操作"的思想，维护一个预流（允许顶点暂时存储超额流量）和高度函数，通过两种基本操作逐步将流量推向汇点。

2025-11-17 16:52:17

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的 Tarjan 算法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的 Tarjan 算法** **题目描述** 给定一棵有根树和若干查询，每个查询要求两个节点的最近公共祖先（LCA）。例如，对于树： ``` 1 / \ 2 3 / \ \ 4 5 6 ``` 查询 (4,5) 的 LCA 是 2，查询 (4,6) 的 LCA 是 1。要求高效处理多个查询。 **解题过程** Tarjan 算法通过一次深度优先搜索（DFS）处理所有查询，

2025-11-17 11:06:31

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法）

**xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法）** **题目描述** Goldberg-Rao 算法是一种用于求解有向图最大流问题的高效算法。给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量，以及源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，目标是找到从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流量。该算法通过结合容量缩放和最短路径距离，在 \(O(\min\{n^{2/3}, m^{1/2}\} \cdot m \log(n^2/m) \log U)\) 的时间内解决问题，其中 \(n\) 是顶点数

2025-11-17 10:08:28

xxx 最小生成树问题（Kruskal算法）

**xxx 最小生成树问题（Kruskal算法）** **题目描述**：给定一个连通无向图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集，每条边e∈E有一个权重w(e)。要求找到一个边集T⊆E，使得图G'=(V,T)是连通的，并且所有边的权重之和最小。这样的边集T称为图的最小生成树。 **解题过程**： **步骤1：理解最小生成树的基本概念** - 生成树：包含图中所有顶点的无环连通子图 - 最小生成树：所有生成树中边权重之和最小的那个 - Kruskal算法采用贪心策略，每次选择权重最小的边

2025-11-17 04:45:39

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