xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法）
字数 1357 2025-11-19 11:36:09

xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法）

题目描述
给定一个连通无向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个权重 \(w(e)\)。目标是找到图 \(G\) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且其所有边的权重之和最小。Reverse-Delete 算法通过从原图中逐步删除边来构造 MST，其核心思想是：按权重从大到小的顺序考虑每条边，若删除该边后图仍连通，则将其移除。

解题步骤详解

步骤 1：算法原理与直觉

  • 逆向思维：与 Kruskal 或 Prim 算法逐步添加边不同，Reverse-Delete 从完整的图出发，逐步删除冗余的高权重边。
  • 关键性质：若一条边是当前图中权重最大的边，且删除后不破坏图的连通性，则该边一定不在任意 MST 中（由环性质可证明）。
  • 终止条件：当剩余边数恰好为 \(|V| - 1\) 时，子图即为 MST。

步骤 2：算法流程

  1. 初始化：将图 \(G\) 的所有边按权重降序排序。
  2. 遍历边：按权重从大到小依次检查每条边：
    • 临时移除当前边 \(e\)。
    • 检查图是否仍连通（通过 DFS/BFS 判断）。
    • 若连通，则永久删除 \(e\)（因其冗余）；否则保留 \(e\)（因其是连接两个连通分量的必需边）。
  3. 输出结果：当剩余边数为 \(|V| - 1\) 时终止，剩余边构成 MST。

步骤 3：示例演示
考虑以下无向图（顶点集 \(V = \{A, B, C, D\}\)，边集及权重）：

A-B: 1,  A-C: 3,  A-D: 2,
B-C: 2,  C-D: 4
  • 排序边：C-D(4), A-C(3), A-D(2), B-C(2), A-B(1)。
  • 处理 C-D(4)：删除后图仍连通 → 移除。
  • 处理 A-C(3)：删除后图仍连通 → 移除。
  • 处理 A-D(2)：删除后图仍连通 → 移除。
  • 处理 B-C(2)：删除后图不连通（A-B 与 C-D 分离）→ 保留。
  • 剩余边：A-B(1), B-C(2)，形成 MST（总权重 3）。

步骤 4：正确性证明

  • 环性质：若某边 \(e\) 是图中某个环的最大权重边，则 \(e\) 不可能出现在任意 MST 中。Reverse-Delete 在删除边时始终满足此条件。
  • 连通性维护：算法始终保证图连通，最终子图是无环的树结构。

步骤 5：复杂度分析

  • 时间复杂度：排序边需 \(O(|E| \log |E|)\)。每次连通性检查（DFS/BFS）需 \(O(|V| + |E|)\)，最坏需检查 \(|E|\) 次，总复杂度 \(O(|E| (|V| + |E|))\)。
  • 优化：使用动态连通性数据结构（如并查集）可将连通性检查降至 \(O(\log |V|)\)，总复杂度优化至 \(O(|E| \log |E|)\)。

步骤 6：适用场景与局限性

  • 适用：稠密图（边数接近完全图）中可能优于 Kruskal/Prim。
  • 局限性：在稀疏图中，排序和频繁连通性检查可能带来额外开销。

通过以上步骤，Reverse-Delete 算法以逆向删除策略逐步剔除冗余边，最终得到最小生成树。

xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete 算法） 题目描述 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。目标是找到图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且其所有边的权重之和最小。Reverse-Delete 算法通过从原图中逐步删除边来构造 MST，其核心思想是： 按权重从大到小的顺序考虑每条边，若删除该边后图仍连通，则将其移除 。 解题步骤详解 步骤 1：算法原理与直觉 逆向思维 ：与 Kruskal 或 Prim 算法逐步添加边不同，Reverse-Delete 从完整的图出发，逐步删除冗余的高权重边。 关键性质 ：若一条边是当前图中权重最大的边，且删除后不破坏图的连通性，则该边一定不在任意 MST 中（由环性质可证明）。 终止条件 ：当剩余边数恰好为 \( |V| - 1 \) 时，子图即为 MST。 步骤 2：算法流程 初始化 ：将图 \( G \) 的所有边按权重降序排序。 遍历边 ：按权重从大到小依次检查每条边： 临时移除当前边 \( e \)。 检查图是否仍连通（通过 DFS/BFS 判断）。 若连通，则永久删除 \( e \)（因其冗余）；否则保留 \( e \)（因其是连接两个连通分量的必需边）。 输出结果 ：当剩余边数为 \( |V| - 1 \) 时终止，剩余边构成 MST。 步骤 3：示例演示 考虑以下无向图（顶点集 \( V = \{A, B, C, D\} \)，边集及权重）： 排序边 ： C-D(4) , A-C(3) , A-D(2) , B-C(2) , A-B(1) 。 处理 C-D(4) ：删除后图仍连通 → 移除。 处理 A-C(3) ：删除后图仍连通 → 移除。 处理 A-D(2) ：删除后图仍连通 → 移除。 处理 B-C(2) ：删除后图不连通（A-B 与 C-D 分离）→ 保留。 剩余边 ： A-B(1) , B-C(2) ，形成 MST（总权重 3）。 步骤 4：正确性证明 环性质 ：若某边 \( e \) 是图中某个环的最大权重边，则 \( e \) 不可能出现在任意 MST 中。Reverse-Delete 在删除边时始终满足此条件。 连通性维护 ：算法始终保证图连通，最终子图是无环的树结构。 步骤 5：复杂度分析 时间复杂度 ：排序边需 \( O(|E| \log |E|) \)。每次连通性检查（DFS/BFS）需 \( O(|V| + |E|) \)，最坏需检查 \( |E| \) 次，总复杂度 \( O(|E| (|V| + |E|)) \)。 优化 ：使用动态连通性数据结构（如并查集）可将连通性检查降至 \( O(\log |V|) \)，总复杂度优化至 \( O(|E| \log |E|) \)。 步骤 6：适用场景与局限性 适用 ：稠密图（边数接近完全图）中可能优于 Kruskal/Prim。 局限性 ：在稀疏图中，排序和频繁连通性检查可能带来额外开销。 通过以上步骤，Reverse-Delete 算法以逆向删除策略逐步剔除冗余边，最终得到最小生成树。