xxx 有向无环图（DAG）中的最长路径问题

字数 1576 2025-11-17 18:06:46

xxx 有向无环图（DAG）中的最长路径问题

问题描述
给定一个带边权的有向无环图（DAG），每条边有一个实数权重（可以是正数、负数或零）。要求找到从任意起点到任意终点的最长路径，即路径上所有边的权重之和最大的路径。若图中存在负权边，但无正权环（DAG 无环，故不可能有环）。该问题在项目调度、关键路径分析等领域有重要应用。

解题步骤

1. 理解 DAG 的性质与问题转化

DAG 具有拓扑排序性质，即存在顶点线性排列，使得所有边均从排在前面的顶点指向后面的顶点。
最长路径问题可通过拓扑排序转化为动态规划问题：按拓扑顺序处理顶点，逐步更新每个顶点的最长路径值。
关键思路：对任意顶点 \(v\)，其最长路径值等于所有前驱顶点的最长路径值加上对应边权的最大值。

2. 拓扑排序

使用 Kahn 算法或 DFS 生成拓扑序列：
- Kahn 算法步骤：
  1. 计算每个顶点的入度。
  2. 将入度为 0 的顶点加入队列。
  3. 依次取出队列中的顶点，将其邻接顶点的入度减 1。若减后入度为 0，则加入队列。
  4. 得到的顶点顺序即为拓扑序。
示例：对顶点 \(A \to B \to C\)，拓扑序可为 \([A, B, C]\)。

3. 动态规划状态定义

设 \(dist[v]\) 表示从起点（或其他参考点）到顶点 \(v\) 的最长路径长度。
初始化：若指定起点 \(s\)，则 \(dist[s] = 0\)，其他顶点初始化为 \(-\infty\)（表示尚未访问）。
若未指定起点，可添加一个虚拟源点，连接所有顶点（边权为 0），然后以该源点为起点计算。

4. 状态转移与路径计算

按拓扑顺序遍历每个顶点 \(u\)：
- 遍历 \(u\) 的所有邻接顶点 \(v\)：
  - 若 \(dist[u] + w(u, v) > dist[v]\)，则更新 \(dist[v] = dist[u] + w(u, v)\)，并记录 \(v\) 的前驱顶点为 \(u\)。
动态规划方程：

\[ dist[v] = \max_{(u, v) \in E} \left( dist[u] + w(u, v) \right) \]

5. 处理多个起点与终点

若需全局最长路径，可遍历所有顶点作为起点，或通过添加虚拟源点简化：
- 创建虚拟源点 \(S\)，添加从 \(S\) 到所有顶点的边（边权为 0）。
- 以 \(S\) 为起点计算拓扑序和 \(dist\) 数组。
最终答案为 \(\max_{v \in V} dist[v]\)。

6. 路径重建

通过记录前驱顶点 \(prev[v]\) 回溯路径：
- 从最大 \(dist[v]\) 对应的终点开始，沿 \(prev\) 指针回溯至起点。
- 若回溯到虚拟源点，则忽略该点。

7. 复杂度分析

拓扑排序：\(O(V + E)\)。
动态规划遍历：每个顶点和边仅处理一次，\(O(V + E)\)。
总复杂度：\(O(V + E)\)，优于一般图的最长路径问题（NP-Hard）。

实例演示
考虑 DAG 如下（边权括号内）：

A → B (3)  
A → C (2)  
B → D (1)  
C → D (4)

步骤：

拓扑排序：\([A, B, C, D]\) 或 \([A, C, B, D]\)。
初始化 \(dist = [0, -\infty, -\infty, -\infty]\)。
处理 A：更新 B 为 3，C 为 2。
处理 B：更新 D 为 3 + 1 = 4。
处理 C：更新 D 为 \(\max(4, 2 + 4) = 6\)。
最长路径为 A → C → D，长度为 6。

通过以上步骤，可系统解决 DAG 最长路径问题。

xxx 有向无环图（DAG）中的最长路径问题问题描述给定一个带边权的有向无环图（DAG），每条边有一个实数权重（可以是正数、负数或零）。要求找到从任意起点到任意终点的最长路径，即路径上所有边的权重之和最大的路径。若图中存在负权边，但无正权环（DAG 无环，故不可能有环）。该问题在项目调度、关键路径分析等领域有重要应用。解题步骤 1. 理解 DAG 的性质与问题转化 DAG 具有拓扑排序性质，即存在顶点线性排列，使得所有边均从排在前面的顶点指向后面的顶点。最长路径问题可通过拓扑排序转化为动态规划问题：按拓扑顺序处理顶点，逐步更新每个顶点的最长路径值。关键思路：对任意顶点 \( v \)，其最长路径值等于所有前驱顶点的最长路径值加上对应边权的最大值。 2. 拓扑排序使用 Kahn 算法或 DFS 生成拓扑序列： Kahn 算法步骤：计算每个顶点的入度。将入度为 0 的顶点加入队列。依次取出队列中的顶点，将其邻接顶点的入度减 1。若减后入度为 0，则加入队列。得到的顶点顺序即为拓扑序。示例：对顶点 \( A \to B \to C \)，拓扑序可为 \( [ A, B, C ] \)。 3. 动态规划状态定义设 \( dist[ v ] \) 表示从起点（或其他参考点）到顶点 \( v \) 的最长路径长度。初始化：若指定起点 \( s \)，则 \( dist[ s ] = 0 \)，其他顶点初始化为 \( -\infty \)（表示尚未访问）。若未指定起点，可添加一个虚拟源点，连接所有顶点（边权为 0），然后以该源点为起点计算。 4. 状态转移与路径计算按拓扑顺序遍历每个顶点 \( u \)：遍历 \( u \) 的所有邻接顶点 \( v \)：若 \( dist[ u] + w(u, v) > dist[ v] \)，则更新 \( dist[ v] = dist[ u ] + w(u, v) \)，并记录 \( v \) 的前驱顶点为 \( u \)。动态规划方程： \[ dist[ v] = \max_ {(u, v) \in E} \left( dist[ u ] + w(u, v) \right) \] 5. 处理多个起点与终点若需全局最长路径，可遍历所有顶点作为起点，或通过添加虚拟源点简化：创建虚拟源点 \( S \)，添加从 \( S \) 到所有顶点的边（边权为 0）。以 \( S \) 为起点计算拓扑序和 \( dist \) 数组。最终答案为 \( \max_ {v \in V} dist[ v ] \)。 6. 路径重建通过记录前驱顶点 \( prev[ v ] \) 回溯路径：从最大 \( dist[ v ] \) 对应的终点开始，沿 \( prev \) 指针回溯至起点。若回溯到虚拟源点，则忽略该点。 7. 复杂度分析拓扑排序：\( O(V + E) \)。动态规划遍历：每个顶点和边仅处理一次，\( O(V + E) \)。总复杂度：\( O(V + E) \)，优于一般图的最长路径问题（NP-Hard）。实例演示考虑 DAG 如下（边权括号内）：步骤：拓扑排序：\( [ A, B, C, D] \) 或 \( [ A, C, B, D ] \)。初始化 \( dist = [ 0, -\infty, -\infty, -\infty ] \)。处理 A：更新 B 为 3，C 为 2。处理 B：更新 D 为 3 + 1 = 4。处理 C：更新 D 为 \( \max(4, 2 + 4) = 6 \)。最长路径为 A → C → D，长度为 6。通过以上步骤，可系统解决 DAG 最长路径问题。