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奇异值分解（SVD）在数据降维中的应用

**奇异值分解（SVD）在数据降维中的应用** 题目描述：给定一个数据矩阵A（大小为m×n，m>n），其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。现在需要将数据从n维降到k维（k

2025-10-25 20:03:18

非线性规划中的Frank-Wolfe算法基础题

**非线性规划中的Frank-Wolfe算法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 - 4x_1 \) 约束条件为： \( x_1 + x_2 \leq 2 \) \( x_1, x_2 \geq 0 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，使用 Frank-Wolfe 算法（也称条件梯度法）求解该问题，要求进行两次迭代。 --- **解题过程** Fr

2025-10-25 19:58:10

QR分解法解线性方程组

**QR分解法解线性方程组** **题目描述** 给定一个线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵（通常 \( m \geq n \)，即方程数大于等于未知数个数），\( \mathbf{b} \) 是已知的 \( m \) 维向量。要求利用 QR 分解法求解向量 \( \mathbf{x} \)，使得 \( A\mathbf{x} \) 尽可能接近 \( \mathbf{b} \)。当

2025-10-25 19:52:50

最长公共子串

**最长公共子串** 题目描述：给定两个字符串 `s1` 和 `s2`，要求找出它们最长的公共子串。公共子串是指连续出现在两个字符串中的相同字符序列。例如，`s1 = "abcde"`，`s2 = "abfce"`，最长公共子串是 `"ab"` 或 `"bc"`（长度为 2）。注意子串是连续的，而子序列可以不连续。 --- **解题过程** **1. 问题分析** - 与最长公共子序列（LCS）不同，公共子串要求字符连续出现，因此状态定义需体现连续性。 - 暴力解法：枚举 `s

2025-10-25 19:47:25

LeetCode 200. 岛屿数量

**LeetCode 200. 岛屿数量** **题目描述** 给你一个由 `'1'`（陆地）和 `'0'`（水）组成的二维网格，请你计算网格中岛屿的数量。岛屿总是被水包围，并且每座岛屿只能由水平方向和/或竖直方向上相邻的陆地连接形成。此外，你可以假设网格的四条边均被水包围。示例：输入： ``` grid = [ ["1","1","0","0","0"], ["1","1","0","0","0"], ["0","0","1","0","0"], ["0",

2025-10-25 19:42:12

非线性规划中的逐步二次逼近法基础题

**非线性规划中的逐步二次逼近法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = x₁² + 2x₂² - 4x₁ - 8x₂ + 10 满足约束条件：x₁ + x₂ ≤ 3 其中 x = (x₁, x₂) ∈ R² 这是一个带不等式约束的二次规划问题，我们将使用逐步二次逼近法（SQA）求解，该方法通过迭代求解一系列二次规划子问题来逼近原问题的最优解。 **解题过程** **第一步：理解逐步二次逼近法的基本思想** 逐步二次逼近法的核心是将复杂的非线性规划问题转化

2025-10-25 19:36:59

非线性规划中的梯度投影法基础题

**非线性规划中的梯度投影法基础题** **题目描述** 考虑一个简单的非线性约束优化问题：最小化函数 \( f(x)1, x_2) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( x_1 + x_2 \leq 2 \) \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \) 要求使用梯度投影法求解该问题在约束区域内的极小值点。 **解题过程** 1. **理解问题与算法思想** - 目标函数 \( f(x) \)

2025-10-25 19:31:42

实现插入排序

**实现插入排序** 题目描述：给定一个整数数组，使用插入排序算法将其按升序排列。插入排序的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。解题过程： 1. 基本思路插入排序将数组分为两部分：左侧已排序部分和右侧未排序部分。初始时已排序部分只包含第一个元素，然后依次将未排序部分的元素插入到已排序部分的正确位置。 2. 具体步骤 - 从第二个元素开始（索引1），将其作为当前需要插入的元素 - 将当前元素与已排序部分的元素从后往前比较 - 如果

2025-10-25 19:26:25

区间动态规划例题：多边形三角剖分的最低得分问题

**区间动态规划例题：多边形三角剖分的最低得分问题** **题目描述** 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 `0, 1, 2, ..., n-1`，每个顶点对应一个整数值。多边形的每条边和一条对角线（连接两个非相邻顶点的线段）的权重定义为该边或对角线两端顶点值的乘积。将多边形三角剖分为若干个不相交的三角形后，总得分为所有三角形边的权重之和（多边形的原始边也必须计入）。要求计算三角剖分的最低可能得分。例如，对于顶点值数组 `[1, 3, 1, 4, 2]` 对应的五边形，一种三

2025-10-25 19:21:13

石子合并问题（线性版本）

**石子合并问题（线性版本）** 题目描述：有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将所有石子合并成一堆。合并的规则是每次只能将相邻的两堆合并成一堆，每次合并的代价是这两堆石子的数量之和。经过N-1次合并后，最终合并为一堆。求将所有石子合并成一堆的最小总代价。解题过程： 1. 问题分析这个问题需要将一排相邻的石子堆合并，每次合并相邻两堆，直到只剩一堆。关键点在于合并顺序会影响总代价。我们需要找到一种合并顺序，使得所有合并步骤的代价总和最小。 2. 状态定义定义dp[i][j

2025-10-25 19:15:58

哈希算法题目：有效的字母异位词

**哈希算法题目：有效的字母异位词** 题目描述：给定两个字符串 s 和 t，编写一个函数来判断 t 是否是 s 的字母异位词。字母异位词是指由相同字母重排列形成的字符串，通常所有出现的字母次数也相同。例如，"anagram"和"nagaram"是字母异位词，而"rat"和"car"则不是。解题过程：步骤一：理解问题核心首先，我们需要明确判断两个字符串是否为字母异位词的关键条件： 1. 两个字符串的长度必须相等。如果长度不同，它们不可能是字母异位词。 2. 字符串s中的每个字符，

2025-10-25 19:10:47

石子合并问题（环形版本）

**石子合并问题（环形版本）** **题目描述** 有 N 堆石子排成一个环形，每堆石子的数量用数组 a 表示。每次可以选择相邻的两堆石子合并成一堆，合并的代价是这两堆石子的数量之和。问合并成一堆石子的总代价的最小值和最大值分别是多少？ **解题思路** 1. 环形问题转化为线性问题：将环形数组复制一份接在原数组末尾，形成长度为 2N 的线性数组。这样，环形中的任意连续 N 堆石子都对应线性数组中的一段连续子数组。 2. 定义状态：设 dp_min[i][j] 表示合并第 i 堆

2025-10-25 19:05:34

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