奇异值分解（SVD）在数据降维中的应用

题目描述：给定一个数据矩阵A（大小为m×n，m>n），其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。现在需要将数据从n维降到k维（k<n），请使用奇异值分解（SVD）方法实现这一降维过程，并解释其原理。

解题过程：

1. 数据标准化
   首先对数据矩阵A进行中心化处理，即每一列减去该列的均值：
   A_centered = A - μ，其中μ是每列的均值向量

2. 计算奇异值分解
   对中心化后的矩阵进行SVD分解：
   A_centered = UΣVᵀ
   其中：

   • U是m×m的正交矩阵（左奇异向量）
   • Σ是m×n的对角矩阵，对角线元素是奇异值（按从大到小排列）
   • V是n×n的正交矩阵（右奇异向量）

3. 选择降维维度k
   根据奇异值的大小选择k值：

   • 计算每个奇异值的方差贡献率：σ₁²/(σ₁²+σ₂²+...+σₙ²)
   • 通常选择累计方差贡献率达到85%-95%的前k个奇异值

4. 构造降维矩阵
   取V矩阵的前k列组成降维矩阵W（大小为n×k）：
   W = V[:,:k]

5. 实施降维变换
   将原始数据投影到新的k维空间：
   A_reduced = A_centered × W
   得到降维后的数据矩阵A_reduced（大小为m×k）

6. 原理说明

• 右奇异矩阵V的列向量构成了数据的主要特征方向
• 前k个奇异值对应的特征方向包含了数据的大部分信息
• 投影过程相当于保留了数据在主要特征方向上的分量

这个降维方法在保持数据主要结构的同时，有效减少了特征维度，便于后续的数据分析和可视化。