非线性规划中的梯度投影法基础题
字数 1949 2025-10-25 20:03:52

非线性规划中的梯度投影法基础题

题目描述
考虑一个简单的非线性约束优化问题：
最小化函数 \(f(x)1, x_2) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件为：
\(x_1 + x_2 \leq 2\)
\(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)
要求使用梯度投影法求解该问题在约束区域内的极小值点。

解题过程

  1. 理解问题与算法思想

    • 目标函数 \(f(x)\) 是一个二次凸函数（开口向上的抛物面），约束定义了一个三角形区域（第一象限内直线 \(x_1 + x_2 = 2\) 下方的区域）。
    • 梯度投影法的核心思想：在每一步迭代中，先沿负梯度方向移动（最速下降），若结果超出约束区域，则将其投影回约束集，再沿投影后的方向搜索。
    • 关键操作：计算梯度、判断可行性、执行投影。

  2. 计算梯度
    梯度 \(\nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2(x_1 - 2) \\ 2(x_2 - 1) \end{bmatrix}\)。
    例如，在任意点 \(x^{(k)} = (x_1^{(k)}, x_2^{(k)})\)，梯度为 \(\nabla f(x^{(k)})\)。

  3. 选择初始点并设置参数
    设初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)（在约束区域内），步长 \(\alpha_k = 0.5\)（固定值，实际可能需线搜索），容差 \(\epsilon = 10^{-3}\)。

  4. 第一次迭代（k=0）

    • 当前点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，计算梯度 \(\nabla f(0, 0) = [-4, -2]^\top\)。
    • 试探点：沿负梯度移动 \(\tilde{x} = x^{(0)} - \alpha_0 \nabla f = (0, 0) - 0.5 \times [-4, -2] = (2, 1)\)。
    • 检查约束：\(2 + 1 = 3 > 2\)，违反约束 \(x_1 + x_2 \leq 2\)。
    • 投影操作：将 \(\tilde{x} = (2, 1)\) 投影到约束集 \(X = \{ x \mid x_1 + x_2 \leq 2, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \}\)。
      • 投影问题：最小化 \(\| y - (2, 1) \|^2\) 满足 \(y \in X\)。
      • 通过几何分析：最近可行点在线段 \(x_1 + x_2 = 2\)（\(0 \leq x_1 \leq 2\)）上。计算投影 \(y^*\) 为点 (2,1) 到直线 \(x_1 + x_2 = 2\) 的垂足：
        解方程得 \(y^* = (1.5, 0.5)\)。
    • 更新方向：\(d^{(0)} = y^* - x^{(0)} = (1.5, 0.5)\)。
    • 沿 \(d^{(0)}\) 搜索（这里直接采用投影点作为新点）：\(x^{(1)} = (1.5, 0.5)\)。

  5. 第二次迭代（k=1）

    • 当前点 \(x^{(1)} = (1.5, 0.5)\)，梯度 \(\nabla f = [-1, -1]^\top\)。
    • 试探点：\(\tilde{x} = (1.5, 0.5) - 0.5 \times [-1, -1] = (2, 1)\)（与上次相同）。
    • 投影：仍得 \(y^* = (1.5, 0.5)\)，方向 \(d^{(1)} = (0, 0)\)。
    • 此时 \(d^{(1)} = 0\)，算法可能收敛？检查条件：当前点梯度在约束边界上的投影。

  6. 最优性检查

    • 在 \(x^{(1)} = (1.5, 0.5)\)，梯度 \(\nabla f = (-1, -1)\)。
    • 约束 \(x_1 + x_2 = 2\) 为活跃约束，其法向量为 \((1, 1)\)。
    • 梯度投影条件：若 \(-\nabla f\) 可表示为活跃约束法向量的非负组合，则满足一阶最优性。
      这里 \(-\nabla f = (1, 1)\)，正好等于法向量，乘子为 1 > 0，满足 KKT 条件。
    • 因此 \(x^* = (1.5, 0.5)\) 为解，函数值 \(f^* = 0.5\)。

总结
梯度投影法通过迭代的“移动-投影”过程，将无约束优化与约束处理结合。本例中，由于目标函数凸且约束线性，算法快速收敛到全局最优解。实际应用中，步长选择、投影计算效率是关键改进点。

非线性规划中的梯度投影法基础题 题目描述 考虑一个简单的非线性约束优化问题： 最小化函数 \( f(x)1, x_ 2) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( x_ 1 + x_ 2 \leq 2 \) \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 要求使用梯度投影法求解该问题在约束区域内的极小值点。 解题过程 理解问题与算法思想 目标函数 \( f(x) \) 是一个二次凸函数（开口向上的抛物面），约束定义了一个三角形区域（第一象限内直线 \( x_ 1 + x_ 2 = 2 \) 下方的区域）。 梯度投影法的核心思想：在每一步迭代中，先沿负梯度方向移动（最速下降），若结果超出约束区域，则将其投影回约束集，再沿投影后的方向搜索。 关键操作：计算梯度、判断可行性、执行投影。 计算梯度 梯度 \( \nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2(x_ 1 - 2) \\ 2(x_ 2 - 1) \end{bmatrix} \)。 例如，在任意点 \( x^{(k)} = (x_ 1^{(k)}, x_ 2^{(k)}) \)，梯度为 \( \nabla f(x^{(k)}) \)。 选择初始点并设置参数 设初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)（在约束区域内），步长 \( \alpha_ k = 0.5 \)（固定值，实际可能需线搜索），容差 \( \epsilon = 10^{-3} \)。 第一次迭代（k=0） 当前点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，计算梯度 \( \nabla f(0, 0) = [ -4, -2 ]^\top \)。 试探点：沿负梯度移动 \( \tilde{x} = x^{(0)} - \alpha_ 0 \nabla f = (0, 0) - 0.5 \times [ -4, -2 ] = (2, 1) \)。 检查约束：\( 2 + 1 = 3 > 2 \)，违反约束 \( x_ 1 + x_ 2 \leq 2 \)。 投影操作 ：将 \( \tilde{x} = (2, 1) \) 投影到约束集 \( X = \{ x \mid x_ 1 + x_ 2 \leq 2, x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \} \)。 投影问题：最小化 \( \| y - (2, 1) \|^2 \) 满足 \( y \in X \)。 通过几何分析：最近可行点在线段 \( x_ 1 + x_ 2 = 2 \)（\( 0 \leq x_ 1 \leq 2 \)）上。计算投影 \( y^* \) 为点 (2,1) 到直线 \( x_ 1 + x_ 2 = 2 \) 的垂足： 解方程得 \( y^* = (1.5, 0.5) \)。 更新方向：\( d^{(0)} = y^* - x^{(0)} = (1.5, 0.5) \)。 沿 \( d^{(0)} \) 搜索（这里直接采用投影点作为新点）：\( x^{(1)} = (1.5, 0.5) \)。 第二次迭代（k=1） 当前点 \( x^{(1)} = (1.5, 0.5) \)，梯度 \( \nabla f = [ -1, -1 ]^\top \)。 试探点：\( \tilde{x} = (1.5, 0.5) - 0.5 \times [ -1, -1 ] = (2, 1) \)（与上次相同）。 投影：仍得 \( y^* = (1.5, 0.5) \)，方向 \( d^{(1)} = (0, 0) \)。 此时 \( d^{(1)} = 0 \)，算法可能收敛？检查条件：当前点梯度在约束边界上的投影。 最优性检查 在 \( x^{(1)} = (1.5, 0.5) \)，梯度 \( \nabla f = (-1, -1) \)。 约束 \( x_ 1 + x_ 2 = 2 \) 为活跃约束，其法向量为 \( (1, 1) \)。 梯度投影条件：若 \( -\nabla f \) 可表示为活跃约束法向量的非负组合，则满足一阶最优性。 这里 \( -\nabla f = (1, 1) \)，正好等于法向量，乘子为 1 > 0，满足 KKT 条件。 因此 \( x^* = (1.5, 0.5) \) 为解，函数值 \( f^* = 0.5 \)。 总结 梯度投影法通过迭代的“移动-投影”过程，将无约束优化与约束处理结合。本例中，由于目标函数凸且约束线性，算法快速收敛到全局最优解。实际应用中，步长选择、投影计算效率是关键改进点。