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高斯-勒让德求积公式的高精度应用

**高斯-勒让德求积公式的高精度应用** **题目描述** 高斯-勒让德求积公式是一种数值积分方法，通过选择最优的节点和权重，使积分公式在多项式函数上达到最高代数精度。本题要求计算积分 \[ I = \int_{-1}^{1} e^{-x^2} \, dx \] 使用高斯-勒让德公式的5个节点（即4次多项式精度），并分析其高精度特性。已知该积分的参考值约为1.493648265624854。 --- **解题过程** ### 1. 高斯-勒让德公式的基本原理高斯-勒

2025-10-26 01:32:45

哈希算法题目：前 K 个高频元素

**哈希算法题目：前 K 个高频元素** **题目描述** 给你一个整数数组 nums 和一个整数 k，请你返回数组中出现频率前 k 高的元素。你可以按任意顺序返回答案。示例 1：输入：nums = [1,1,1,2,2,3], k = 2 输出：[1,2] 示例 2：输入：nums = [1], k = 1 输出：[1] **解题过程** 这个问题可以分解为几个清晰的步骤。我们的目标是找出出现次数最多的 k 个元素。 **第一步：统计每个元素出现的频率** 这是哈希算法最典型

2025-10-26 01:27:28

非线性规划中的乘子法基础题

**非线性规划中的乘子法基础题** **题目描述** 考虑非线性约束优化问题：最小化 \( f(x) = x_1^2 + x_2^2 \) 满足约束 \( h(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0 \)。要求使用乘子法（Method of Multipliers）求解该问题，并详细解释其原理和步骤。 --- **解题过程** 乘子法通过结合拉格朗日函数和罚函数的思想，将约束问题转化为一系列无约束子问题。其核心是动态更新乘子（拉格朗日乘子）和惩罚参数，以加速收

2025-10-26 01:22:07

区间内最频繁元素查询（Range Minimum Query 变种）

**区间内最频繁元素查询（Range Minimum Query 变种）** **题目描述** 给定一个整数数组，你需要处理多组查询。每组查询给出一个区间 [L, R]，要求你快速找出该区间内出现次数最多的元素的出现次数（即频率最大值）。例如，数组为 [1, 3, 3, 5, 5, 5, 7]，查询 [1, 5]（0-based 索引）对应子数组 [3, 3, 5, 5, 5]，其中元素 5 出现 3 次，频率最大，因此答案为 3。 **解题思路** 这个问题是 Range Mini

2025-10-26 01:16:42

区间动态规划例题：最长回文子串问题

**区间动态规划例题：最长回文子串问题** **题目描述** 给定一个字符串 `s`，找到其中最长的回文子串（子串是连续的）。例如，若 `s = "babad"`，最长回文子串可能是 `"bab"` 或 `"aba"`；若 `s = "cbbd"`，最长回文子串是 `"bb"`。要求时间复杂度优化至 \(O(n^2)\)，空间复杂度优化至 \(O(n^2)\) 或更低。 --- **解题思路** 1. **定义状态** 设 `dp[i][j]` 表示字符串从索引

2025-10-26 01:11:24

区间动态规划例题：布尔括号化问题

**区间动态规划例题：布尔括号化问题** **题目描述** 给定一个布尔表达式，由以下字符组成： - 符号：'T'（真）或'F'（假） - 运算符：'&'（与）、'|'（或）、'^'（异或）你的目标是计算有多少种括号化方案，使得整个表达式的结果为真（T）。例如，表达式 "T|F&T" 可以有多种括号化方式： - (T|F)&T → T&T → T（真） - T|(F&T) → T|F → T（真）这个表达式有2种括号化方案能得到真。 **解题思路** 1. 将表达式分解为符号序列和运算

2025-10-26 01:06:03

最长湍流子数组

**最长湍流子数组** **题目描述** 给定一个整数数组 `arr`，当 `arr` 的子数组 `A` 满足以下条件时，我们称其为湍流子数组： - 对于每个索引 `i`（其中 `0 < i A[i]`，则 `A[i] < A[i+1]`； - 若 `A[i-1]

2025-10-26 01:00:42

哈希算法题目：最长和谐子序列

**哈希算法题目：最长和谐子序列** 题目描述：和谐数组是指一个数组里元素的最大值和最小值之间的差别正好是1。现在给定一个整数数组，你需要找到所有可能的和谐子序列中最长的长度。注意，和谐子序列要求元素可以是任意顺序，但必须由数组中的元素组成，且最长的和谐子序列指的是包含元素个数最多的那个。解题过程：让我们通过一个例子来理解：给定数组 [1,3,2,2,5,2,3,7]，最长的和谐子序列是 [3,2,2,2,3]，长度为5。步骤1：理解和谐子序列的本质和谐子序列由两个相差1的整数组

2025-10-26 00:55:21

LeetCode 417. 太平洋大西洋水流问题

**LeetCode 417. 太平洋大西洋水流问题** **题目描述** 有一个 m x n 的矩形岛屿，其左上角与“太平洋”接壤，右下角与“大西洋”接壤。岛屿被分成多个正方形单元格，给定一个 m x n 的整数矩阵 `heights`，其中 `heights[r][c]` 表示坐标 (r, c) 处单元格的高度。雨水只能从高处流向低处或等高的相邻单元格（相邻单元格指上、下、左、右四个方向）。请找出所有既能流向太平洋，也能流向大西洋的单元格的坐标，并以任意顺序返回这些坐标的列表。 *

2025-10-26 00:50:11

最长回文子序列

**最长回文子序列** 题目描述：给定一个字符串 s，找到其中最长的回文子序列的长度。回文子序列定义为：从原字符串中删除零个或多个字符后，剩余字符保持原有顺序并且构成回文。注意，子序列不要求连续。解题过程： 1. 定义状态设 dp[i][j] 表示字符串 s 在区间 [i, j] 内的最长回文子序列长度。i 和 j 为字符索引（0 ≤ i ≤ j < n）。 2. 状态转移方程 - 当 i = j 时：单个字符本身就是回文，dp[i][j] = 1。 - 当 s[

2025-10-26 00:44:43

线性规划的运输问题求解示例

**线性规划的运输问题求解示例** **题目描述** 假设有两个工厂（供应点）和三个仓库（需求点），需要制定一个运输计划，使得总运输成本最低。 - 工厂A的供应量为30吨，工厂B的供应量为25吨。 - 仓库1的需求量为20吨，仓库2的需求量为15吨，仓库3的需求量为20吨。 - 单位运输成本（元/吨）如下表： | | 仓库1 | 仓库2 | 仓库3 | |----------|-------|-------|-------| | **工

2025-10-26 00:39:34

LeetCode 733. 图像渲染

**LeetCode 733. 图像渲染** **题目描述** 有一幅以二维整数网格表示的图画，`image`。每一个整数 `image[i][j]` 表示该像素的灰度值。给你三个整数：`sr`（行），`sc`（列）和 `newColor`（新颜色）。你需要从像素 `image[sr][sc]` 开始，对图像进行“上色”（也称为“洪水填充”）。 “洪水填充”的意思是，从初始像素点开始，把所有与初始点颜色相同且相邻（上下左右四个方向）的像素点，以及这些点的相邻点（同样要求颜色相同且相邻），都

2025-10-26 00:34:11

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