高斯-勒让德求积公式的高精度应用
题目描述
高斯-勒让德求积公式是一种数值积分方法，通过选择最优的节点和权重，使积分公式在多项式函数上达到最高代数精度。本题要求计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-x^2} \, dx \]
使用高斯-勒让德公式的5个节点（即4次多项式精度），并分析其高精度特性。已知该积分的参考值约为1.493648265624854。
解题过程
1. 高斯-勒让德公式的基本原理
高斯-勒让德公式将积分转化为节点函数值的加权和：
\[\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中节点 \(x_i\) 是勒让德多项式 \(P_n(x)\) 的根，权重 \(w_i\) 由公式
\[w_i = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2} \]
计算。对于 \(n=5\)，节点和权重有标准数值表可查。
2. 查询5点高斯-勒让德公式的节点和权重
标准数值表给出以下值（保留10位小数）：
| 节点 \(x_i\) | 权重 \(w_i\) |
|---|---|
| 0.0000000000 | 0.5688888889 |
| ±0.5384693101 | 0.4786286705 |
| ±0.9061798459 | 0.2369268851 |
3. 计算函数值
令 \(f(x) = e^{-x^2}\)，计算每个节点处的函数值：
- \(f(0.0000000000) = e^{0} = 1.0000000000\)
- \(f(0.5384693101) = e^{-(0.5384693101)^2} = e^{-0.289949} \approx 0.7483315524\)
- \(f(0.9061798459) = e^{-(0.9061798459)^2} = e^{-0.821162} \approx 0.4396992971\)
由于函数为偶函数，\(f(-x_i) = f(x_i)\)，无需重复计算。
4. 加权求和
利用对称性简化计算：
\[I \approx w_1 f(0) + 2 \left[ w_2 f(0.5384693101) + w_3 f(0.9061798459) \right] \]
代入数值：
\[I \approx 0.5688888889 \times 1.0000000000 + 2 \left[ 0.4786286705 \times 0.7483315524 + 0.2369268851 \times 0.4396992971 \right] \]
分步计算：
- \(0.4786286705 \times 0.7483315524 \approx 0.3582001409\)
- \(0.2369268851 \times 0.4396992971 \approx 0.1041700302\)
- 括号内和： \(0.3582001409 + 0.1041700302 = 0.4623701711\)
- 乘以2： \(0.9247403422\)
- 加第一项： \(0.5688888889 + 0.9247403422 = 1.4936292311\)
5. 误差分析
与参考值 \(1.493648265624854\) 比较：
绝对误差 \(\approx |1.4936292311 - 1.4936482656| \approx 1.903 \times 10^{-5}\)
相对误差 \(\approx 1.27 \times 10^{-5}\)（约0.0013%）。
即使仅用5个节点，高斯-勒让德公式已实现高精度，这是因为其代数精度为 \(2n-1=9\) 次，能精确积分高阶多项式，而 \(e^{-x^2}\) 在 \([-1,1]\) 内可用低阶多项式良好逼近。
关键点总结
- 高斯-勒让德公式通过优化节点和权重最大化代数精度。
- 实际计算时直接查表获取节点和权重。
- 对称函数可减少计算量。
- 高精度源于公式对光滑函数的高效逼近能力。