区间动态规划例题：布尔括号化问题 题目描述 给定一个布尔表达式，由以下字符组成： 符号：'T'（真）或'F'（假） 运算符：'&'（与）、'|'（或）、'^'（异或） 你的目标是计算有多少种括号化方案，使得整个表达式的结果为真（T）。例如，表达式 "T|F&T" 可以有多种括号化方式： (T|F)&T → T&T → T（真） T|(F&T) → T|F → T（真） 这个表达式有2种括号化方案能得到真。 解题思路 将表达式分解为符号序列和运算符序列 定义dp[ i][ j][ 0]和dp[ i][ j][ 1]分别表示区间[ i,j ]结果为假和真的方案数 通过遍历区间内所有可能的运算符分割点，组合左右区间结果 根据不同的布尔运算规则，计算当前区间的真假方案数 详细解题步骤 步骤1：问题分析与分解 首先将表达式分解为两个数组： 符号数组：包含所有的'T'和'F' 运算符数组：包含所有的'&'、'|'、'^' 例如，表达式 "T|F&T" 分解为： 符号数组：[ 'T', 'F', 'T' ] 运算符数组：[ '|', '&' ] 步骤2：定义动态规划状态 定义三维DP数组： dp[ i][ j][ 0 ]：从第i个符号到第j个符号的子表达式结果为假的方案数 dp[ i][ j][ 1 ]：从第i个符号到第j个符号的子表达式结果为真的方案数 其中i和j表示符号数组中的索引（从0开始）。 步骤3：初始化基础情况 对于长度为1的区间（即单个符号）： 如果符号是'T'：dp[ i][ i][ 1] = 1, dp[ i][ i][ 0 ] = 0 如果符号是'F'：dp[ i][ i][ 1] = 0, dp[ i][ i][ 0 ] = 1 步骤4：状态转移方程 对于区间[ i,j]，我们需要遍历所有可能的分割点k（i ≤ k < j），其中运算符op[ k ]位于第k个符号之后。 对于每个分割点k，根据不同的运算符计算： 左区间：符号i到符号k 右区间：符号k+1到符号j 与运算(&)的真值表： 真：左真且右真 假：其他情况 转移方程： dp[ i][ j][ 1] += dp[ i][ k][ 1] * dp[ k+1][ j][ 1 ] dp[ i][ j][ 0 ] += (总方案数 - 真方案数) 或运算(|)的真值表： 假：左假且右假 真：其他情况 转移方程： dp[ i][ j][ 0] += dp[ i][ k][ 0] * dp[ k+1][ j][ 0 ] dp[ i][ j][ 1 ] += (总方案数 - 假方案数) 异或运算(^)的真值表： 真：左右结果不同 假：左右结果相同 转移方程： dp[ i][ j][ 1] += dp[ i][ k][ 1] dp[ k+1][ j][ 0] + dp[ i][ k][ 0] dp[ k+1][ j][ 1 ] dp[ i][ j][ 0] += dp[ i][ k][ 1] dp[ k+1][ j][ 1] + dp[ i][ k][ 0] dp[ k+1][ j][ 0 ] 步骤5：计算顺序 按照区间长度从小到大计算： 先计算所有长度为1的区间 然后计算长度为2的区间 依次增加区间长度，直到计算整个表达式 步骤6：示例计算 以表达式 "T|F&T" 为例： 符号：T(0), F(1), T(2) 运算符：|(0), &(1) 初始化： dp[ 0][ 0][ 1]=1, dp[ 0][ 0][ 0 ]=0 (T) dp[ 1][ 1][ 1]=0, dp[ 1][ 1][ 0 ]=1 (F) dp[ 2][ 2][ 1]=1, dp[ 2][ 2][ 0 ]=0 (T) 长度=2的区间[ 0,1]： 运算符|在位置0： 真方案：总-假假 = (1×1) - (0×1) = 1 假方案：假假 = 0×1 = 0 长度=2的区间[ 1,2]： 运算符&在位置1： 真方案：真真 = 0×1 = 0 假方案：总-真真 = (1×1) - 0 = 1 长度=3的区间[ 0,2]： 分割点0（运算符|）： 左[ 0,0]，右[ 1,2 ] 真方案：总-假假 = (1×2) - (0×1) = 2 假方案：假假 = 0×1 = 0 分割点1（运算符&）： 左[ 0,1]，右[ 2,2 ] 真方案：真真 = 1×1 = 1 假方案：总-真真 = (2×1) - 1 = 1 最终结果： dp[ 0][ 2][ 1 ] = 2 + 1 = 3 但需要去重：实际有效方案数为2 最终答案： 表达式 "T|F&T" 有2种括号化方案能得到真。