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区间动态规划例题：最长回文子串问题

**区间动态规划例题：最长回文子串问题** **题目描述** 给定一个字符串 `s`，找出其中最长的连续回文子串。回文串是指正着读和反着读都相同的字符串。例如，对于字符串 `"babad"`，最长回文子串可能是 `"bab"` 或 `"aba"`；对于 `"cbbd"`，最长回文子串是 `"bb"`。要求时间复杂度尽量优化。 --- **解题思路** 本题可以通过**区间动态规划**来高效解决。核心思想是：如果一个子串是回文串，并且去掉首尾字符后剩下的子串仍是回文串，那么整个子串就

2025-10-26 02:58:41

龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术

**龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术** **题目描述** 计算定积分 \( I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x + 0.1} \, dx \) 的近似值，要求误差小于 \( 10^{-6} \)。使用龙贝格积分法，并分析其误差收敛特性。 --- **解题过程** ### 1. 龙贝格积分法原理回顾龙贝格积分法通过复合梯形公式的递推计算和理查森外推加速，逐步提高积分精度。其核心步骤： 1. **初始梯形近似**：设 \( T_0^{

2025-10-26 02:53:25

哈希算法题目：四数相加 II

**哈希算法题目：四数相加 II** **题目描述** 给定四个整数数组 `nums1`、`nums2`、`nums3` 和 `nums4`，数组长度均为 `n`。请计算有多少个元组 `(i, j, k, l)` 满足： - `0 <= i, j, k, l < n` - `nums1[i] + nums2[j] + nums3[k] + nums4[l] == 0` **示例** 输入： `nums1 = [1, 2]`, `nums2 = [-2, -1]`, `nums3

2025-10-26 02:47:56

区间和检索算法（前缀和算法）

**区间和检索算法（前缀和算法）** **题目描述** 给定一个整数数组，你需要实现一个类，该类支持以下两种操作： 1. 在初始化时接收整数数组。 2. 提供一个方法，能够快速计算数组中从索引 `i` 到索引 `j`（包含两端）的元素总和。 **示例** 输入：数组 `[-2, 0, 3, -5, 2, -1]` 查询 `sumRange(0, 2)` → 返回 `-2 + 0 + 3 = 1` 查询 `sumRange(2, 5)` → 返回 `3 + (-5

2025-10-26 02:42:40

最长斐波那契子序列的长度

**最长斐波那契子序列的长度** **题目描述** 给定一个严格递增的正整数数组 arr，你需要找出数组中最长的斐波那契式子序列的长度。如果一个序列满足以下条件，则称其为斐波那契式子序列： 1. 序列长度 >= 3 2. 对于所有满足 i+2 < 序列长度的 i，都有 X_i + X_{i+1} = X_{i+2} 例如，对于数组 arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]： - 最长的斐波那契子序列之一是 [3, 5, 8]，因为 3+5=8。 - 另一个是 [1, 2

2025-10-26 02:37:26

LeetCode 127. 单词接龙

**LeetCode 127. 单词接龙** **题目描述** 给定两个单词（`beginWord` 和 `endWord`）和一个字典（`wordList`），你需要找到从 `beginWord` 到 `endWord` 的最短转换序列的长度。转换需要遵循以下规则： 1. 每次转换只能改变一个字母。 2. 转换过程中的每个中间单词都必须是字典 `wordList` 中的单词。 **说明:** * 如果不存在这样的转换序列，返回 0。 * 所有单词具有相同的长度。 * 所有

2025-10-26 02:32:11

高斯-勒让德求积公式的误差分析

**高斯-勒让德求积公式的误差分析** **题目描述** 高斯-勒让德求积公式是一种在区间[-1, 1]上对定积分进行数值近似的方法，其形式为： \[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \] 其中节点 \(x_i\) 是n次勒让德多项式的根，权重 \(w_i\) 由特定条件确定。本题要求：详细分析该公式的代数精度，并推导其截断误差表达式。 --- **解题过程** 1. **理解代数精度的概念**

2025-10-26 02:26:27

**桶排序** **题目描述** 给定一个包含 `n` 个元素的浮点数数组 `arr`，其中每个元素的范围在 `[0, 1)` 内（即 0 ≤ arr[i] < 1）。请设计一个排序算法，将数组按升序排列。要求时间复杂度接近 O(n)，且不能直接使用内置排序函数。 --- **解题过程** **步骤 1：理解桶排序的核心思想** 桶排序适用于数据均匀分布在某个范围内的情况。它的基本思路是： 1. 将区间划分为若干个桶（bucket）。 2. 将元素分配到对应的桶中

2025-10-26 02:21:12

最长递增子序列的个数（进阶版）

**最长递增子序列的个数（进阶版）** **题目描述** 给定一个整数数组 `nums`，找到最长递增子序列（LIS）的长度，并计算最长递增子序列的个数。注意：可能存在多个最长递增子序列，你需要统计所有不同的最长递增子序列的数量。 **示例** 输入：`nums = [1,3,5,4,7]` 输出：`[最长递增子序列长度, 个数] = [4, 2]` 最长递增子序列有两个：`[1,3,5,7]` 和 `[1,3,4,7]`，长度均为 4。 --- **解题过程**

2025-10-26 02:15:54

区间动态规划例题：预测赢家问题

**区间动态规划例题：预测赢家问题** **题目描述** 给定一个非负整数数组nums，两个玩家轮流从数组的两端取数（每次只能取最左或最右端的数字），取到的数字就是该玩家的得分。双方都采取最优策略，如果先手玩家能获胜（即总得分大于或等于后手玩家），则返回true，否则返回false。假设数组长度不超过20。 **解题思路** 这个问题可以用区间动态规划解决。核心思想是定义dp[i][j]表示在子数组nums[i..j]上，当前行动的玩家（不一定是先手）能比对手多得的分数。通过比较最终差值是否

2025-10-26 02:10:44

区间动态规划例题：最长回文子序列问题

**区间动态规划例题：最长回文子序列问题** **题目描述** 给定一个字符串 `s`，找出其最长回文子序列的长度。回文子序列是指从原字符串中删除零个或多个字符后，剩余字符按原顺序排列形成的回文串。注意：子序列不要求连续。例如，字符串 `"bbbab"` 的最长回文子序列是 `"bbbb"`，长度为 4；`"cbbd"` 的最长回文子序列是 `"bb"`，长度为 2。 **解题思路** 1. **定义状态**：设 `dp[i][j]` 表示字符串 `s` 在区间 `[i, j]` 内

2025-10-26 02:05:31

非线性规划中的模式搜索法基础题

**非线性规划中的模式搜索法基础题** **题目描述：** 考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \] 其中 \( x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \)。初始点设为 \( x^{(0)} = (0, 3) \)，使用**模式搜索法（Pattern Search）**求解该问题，要求通过迭代逐步逼近局部极小点。 --- **解题过程：** **1. 模式搜索法简介** 模

2025-10-26 02:00:15

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