龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术
字数 2739 2025-10-26 09:00:43

龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x + 0.1} \, dx\) 的近似值，要求误差小于 \(10^{-6}\)。使用龙贝格积分法，并分析其误差收敛特性。

解题过程

1. 龙贝格积分法原理回顾

龙贝格积分法通过复合梯形公式的递推计算和理查森外推加速，逐步提高积分精度。其核心步骤：

  1. 初始梯形近似：
    设 \(T_0^{(0)} = \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]\)，其中区间 \([a, b] = [0, 1]\)。
  2. 区间逐次二分：
    每次将区间等分，计算新的梯形公式值 \(T_0^{(k)}\)（\(k\) 为二分次数）。
  3. 外推加速：
    利用公式 \(T_m^{(k)} = \frac{4^m T_{m-1}^{(k+1)} - T_{m-1}^{(k)}}{4^m - 1}\) 逐次消除误差主项，得到更高精度的近似值。

2. 误差分析基础

龙贝格积分的误差主要来源：

  • 梯形公式误差：
    复合梯形公式的误差展开为：

\[ I - T_0^{(k)} = \alpha_1 h^2 + \alpha_2 h^4 + \alpha_3 h^6 + \cdots \]

其中 \(h = \frac{b-a}{2^k}\) 为步长。

  • 外推效果：
    每次外推（增加 \(m\)）可消除一个低阶误差项。例如：
    • \(T_1^{(k)}\) 消除 \(h^2\) 项，误差阶升至 \(O(h^4)\)。
    • \(T_2^{(k)}\) 进一步消除 \(h^4\) 项，误差阶升至 \(O(h^6)\)。

3. 逐步计算与误差控制

步骤1：初始化

定义被积函数 \(f(x) = \frac{\sin x}{x + 0.1}\)，区间 \([a, b] = [0, 1]\)。计算端点值：

\[f(0) = \frac{\sin 0}{0.1} = 0, \quad f(1) = \frac{\sin 1}{1.1} \approx 0.765147. \]

初始梯形近似：

\[T_0^{(0)} = \frac{1-0}{2} [f(0) + f(1)] \approx 0.382573. \]

步骤2：第一次二分（\(k=1\)）

区间分为 2 等份，节点 \(x_0=0, x_1=0.5, x_2=1\)。计算新增中点函数值：

\[f(0.5) = \frac{\sin 0.5}{0.6} \approx 0.798635. \]

梯形公式更新：

\[T_0^{(1)} = \frac{1}{2} T_0^{(0)} + \frac{h}{2} \sum_{\text{新增点}} f(x_i) = 0.5 \times 0.382573 + 0.5 \times 0.798635 \approx 0.590604. \]

步骤3：第一次外推（\(m=1\)）

利用 \(T_0^{(0)}\) 和 \(T_0^{(1)}\) 计算 \(T_1^{(0)}\)：

\[T_1^{(0)} = \frac{4 T_0^{(1)} - T_0^{(0)}}{3} \approx \frac{4 \times 0.590604 - 0.382573}{3} \approx 0.599281. \]

此时误差阶从 \(O(h^2)\) 提升至 \(O(h^4)\)。

步骤4：继续二分与外推

重复以下过程直到相邻外推值的差小于 \(10^{-6}\)：

  1. 二分区间：计算新增节点函数值，更新 \(T_0^{(k)}\)。
  2. 外推加速：按公式 \(T_m^{(k)} = \frac{4^m T_{m-1}^{(k+1)} - T_{m-1}^{(k)}}{4^m - 1}\) 填充龙贝格表。

以 \(k=2\) 为例：

  • 二分后新增节点 \(x=0.25, 0.75\)：

\[ f(0.25) \approx 0.989616, \quad f(0.75) \approx 0.844348. \]

  • 更新梯形公式：

\[ T_0^{(2)} = \frac{1}{2} T_0^{(1)} + 0.25 [f(0.25) + f(0.75)] \approx 0.5 \times 0.590604 + 0.25 \times (0.989616 + 0.844348) \approx 0.606888. \]

  • 外推得到：

\[ T_1^{(1)} = \frac{4 T_0^{(2)} - T_0^{(1)}}{3} \approx 0.609182, \quad T_2^{(0)} = \frac{16 T_1^{(1)} - T_1^{(0)}}{15} \approx 0.609708. \]

步骤5：收敛判断

持续迭代至 \(k=4\)（区间数 16）时，龙贝格表部分结果：

\[\begin{aligned} T_0^{(4)} &\approx 0.609553, \\ T_1^{(3)} &\approx 0.609710, \\ T_2^{(2)} &\approx 0.609711, \\ T_3^{(1)} &\approx 0.609711. \end{aligned} \]

检查 \(|T_3^{(1)} - T_2^{(2)}| \approx 10^{-7} < 10^{-6}\)，满足精度要求。

4. 误差收敛特性分析

  • 梯形序列（\(T_0^{(k)}\)）：误差以 \(O(h^2)\) 速度收敛，需大量二分才能达到高精度。
  • 外推序列：
    • \(T_1^{(k)}\)（辛普森规则）误差为 \(O(h^4)\)；
    • \(T_2^{(k)}\)（龙贝格规则）误差为 \(O(h^6)\)；
    • 每级外推显著减少所需二分次数。
  • 本例中：仅需 4 次二分（16 个子区间）结合 3 级外推即可满足误差要求，而单纯梯形法则需约 1000 个子区间。

最终结果
积分值 \(I \approx 0.609711\)，误差控制在 \(10^{-6}\) 以内。龙贝格法通过外推技术高效提升收敛速度，特别适用于光滑函数的高精度积分。

龙贝格积分法的误差分析与加速收敛技术 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {0}^{1} \frac{\sin x}{x + 0.1} \, dx \) 的近似值，要求误差小于 \( 10^{-6} \)。使用龙贝格积分法，并分析其误差收敛特性。 解题过程 1. 龙贝格积分法原理回顾 龙贝格积分法通过复合梯形公式的递推计算和理查森外推加速，逐步提高积分精度。其核心步骤： 初始梯形近似 ： 设 \( T_ 0^{(0)} = \frac{b-a}{2} [ f(a) + f(b)] \)，其中区间 \([ a, b] = [ 0, 1 ]\)。 区间逐次二分 ： 每次将区间等分，计算新的梯形公式值 \( T_ 0^{(k)} \)（\( k \) 为二分次数）。 外推加速 ： 利用公式 \( T_ m^{(k)} = \frac{4^m T_ {m-1}^{(k+1)} - T_ {m-1}^{(k)}}{4^m - 1} \) 逐次消除误差主项，得到更高精度的近似值。 2. 误差分析基础 龙贝格积分的误差主要来源： 梯形公式误差 ： 复合梯形公式的误差展开为： \[ I - T_ 0^{(k)} = \alpha_ 1 h^2 + \alpha_ 2 h^4 + \alpha_ 3 h^6 + \cdots \] 其中 \( h = \frac{b-a}{2^k} \) 为步长。 外推效果 ： 每次外推（增加 \( m \)）可消除一个低阶误差项。例如： \( T_ 1^{(k)} \) 消除 \( h^2 \) 项，误差阶升至 \( O(h^4) \)。 \( T_ 2^{(k)} \) 进一步消除 \( h^4 \) 项，误差阶升至 \( O(h^6) \)。 3. 逐步计算与误差控制 步骤1：初始化 定义被积函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{x + 0.1} \)，区间 \([ a, b] = [ 0, 1 ]\)。计算端点值： \[ f(0) = \frac{\sin 0}{0.1} = 0, \quad f(1) = \frac{\sin 1}{1.1} \approx 0.765147. \] 初始梯形近似： \[ T_ 0^{(0)} = \frac{1-0}{2} [ f(0) + f(1) ] \approx 0.382573. \] 步骤2：第一次二分（\( k=1 \)） 区间分为 2 等份，节点 \( x_ 0=0, x_ 1=0.5, x_ 2=1 \)。计算新增中点函数值： \[ f(0.5) = \frac{\sin 0.5}{0.6} \approx 0.798635. \] 梯形公式更新： \[ T_ 0^{(1)} = \frac{1}{2} T_ 0^{(0)} + \frac{h}{2} \sum_ {\text{新增点}} f(x_ i) = 0.5 \times 0.382573 + 0.5 \times 0.798635 \approx 0.590604. \] 步骤3：第一次外推（\( m=1 \)） 利用 \( T_ 0^{(0)} \) 和 \( T_ 0^{(1)} \) 计算 \( T_ 1^{(0)} \)： \[ T_ 1^{(0)} = \frac{4 T_ 0^{(1)} - T_ 0^{(0)}}{3} \approx \frac{4 \times 0.590604 - 0.382573}{3} \approx 0.599281. \] 此时误差阶从 \( O(h^2) \) 提升至 \( O(h^4) \)。 步骤4：继续二分与外推 重复以下过程直到相邻外推值的差小于 \( 10^{-6} \)： 二分区间 ：计算新增节点函数值，更新 \( T_ 0^{(k)} \)。 外推加速 ：按公式 \( T_ m^{(k)} = \frac{4^m T_ {m-1}^{(k+1)} - T_ {m-1}^{(k)}}{4^m - 1} \) 填充龙贝格表。 以 \( k=2 \) 为例： 二分后新增节点 \( x=0.25, 0.75 \)： \[ f(0.25) \approx 0.989616, \quad f(0.75) \approx 0.844348. \] 更新梯形公式： \[ T_ 0^{(2)} = \frac{1}{2} T_ 0^{(1)} + 0.25 [ f(0.25) + f(0.75) ] \approx 0.5 \times 0.590604 + 0.25 \times (0.989616 + 0.844348) \approx 0.606888. \] 外推得到： \[ T_ 1^{(1)} = \frac{4 T_ 0^{(2)} - T_ 0^{(1)}}{3} \approx 0.609182, \quad T_ 2^{(0)} = \frac{16 T_ 1^{(1)} - T_ 1^{(0)}}{15} \approx 0.609708. \] 步骤5：收敛判断 持续迭代至 \( k=4 \)（区间数 16）时，龙贝格表部分结果： \[ \begin{aligned} T_ 0^{(4)} &\approx 0.609553, \\ T_ 1^{(3)} &\approx 0.609710, \\ T_ 2^{(2)} &\approx 0.609711, \\ T_ 3^{(1)} &\approx 0.609711. \end{aligned} \] 检查 \( |T_ 3^{(1)} - T_ 2^{(2)}| \approx 10^{-7} < 10^{-6} \)，满足精度要求。 4. 误差收敛特性分析 梯形序列（\( T_ 0^{(k)} \)） ：误差以 \( O(h^2) \) 速度收敛，需大量二分才能达到高精度。 外推序列 ： \( T_ 1^{(k)} \)（辛普森规则）误差为 \( O(h^4) \)； \( T_ 2^{(k)} \)（龙贝格规则）误差为 \( O(h^6) \)； 每级外推显著减少所需二分次数。 本例中 ：仅需 4 次二分（16 个子区间）结合 3 级外推即可满足误差要求，而单纯梯形法则需约 1000 个子区间。 最终结果 积分值 \( I \approx 0.609711 \)，误差控制在 \( 10^{-6} \) 以内。龙贝格法通过外推技术高效提升收敛速度，特别适用于光滑函数的高精度积分。