高斯-勒让德求积公式的误差分析
题目描述
高斯-勒让德求积公式是一种在区间[-1, 1]上对定积分进行数值近似的方法，其形式为：
\[\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中节点 \(x_i\) 是n次勒让德多项式的根，权重 \(w_i\) 由特定条件确定。本题要求：详细分析该公式的代数精度，并推导其截断误差表达式。
解题过程
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理解代数精度的概念
- 若一个求积公式对任意次数不高于 \(m\) 的多项式都能精确成立，但对 \(m+1\) 次多项式不精确，则称其具有 \(m\) 次代数精度。
- 高斯型求积公式的关键性质：n点高斯公式的代数精度为 \(2n-1\)。
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证明代数精度为 \(2n-1\)
- 设 \(P_{2n-1}(x)\) 是任意一个次数不超过 \(2n-1\) 的多项式。
- 通过多项式除法，可将其写为：
\[ P_{2n-1}(x) = Q(x) \cdot L_n(x) + R(x) \]
其中 $L_n(x)$ 是n次勒让德多项式，$Q(x)$ 和 $R(x)$ 的次数均不超过 $n-1$。
- 由于 \(L_n(x)\) 与所有低于n次的多项式正交，且 \(Q(x)\) 次数低于n，有：
\[ \int_{-1}^{1} Q(x) L_n(x) \, dx = 0 \]
- 因此积分精确值为：
\[ \int_{-1}^{1} P_{2n-1}(x) \, dx = \int_{-1}^{1} R(x) \, dx \]
- 在高斯公式中，节点 \(x_i\) 是 \(L_n(x)\) 的根，故 \(L_n(x_i)=0\)，代入得：
\[ P_{2n-1}(x_i) = R(x_i) \]
- 由于 \(R(x)\) 次数不超过 \(n-1\)，n点高斯公式能精确积分 \(R(x)\)，所以：
\[ \sum_{i=1}^{n} w_i R(x_i) = \int_{-1}^{1} R(x) \, dx \]
- 最终可得高斯公式对 \(P_{2n-1}\) 精确成立。
- 误差公式推导
- 设 \(f(x)\) 是充分光滑的函数，误差表达式为：
\[ E_n(f) = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx - \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
- 通过构造Hermite插值多项式 \(H_{2n-1}(x)\)，使其在节点 \(x_i\) 处满足：
\[ H_{2n-1}(x_i) = f(x_i), \quad H'_{2n-1}(x_i) = f'(x_i) \]
- 插值余项为：
\[ f(x) - H_{2n-1}(x) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \prod_{i=1}^{n} (x - x_i)^2 \]
- 由于高斯公式对 \(H_{2n-1}\) 精确成立（次数 ≤ \(2n-1\)），误差可写为：
\[ E_n(f) = \int_{-1}^{1} \frac{f^{(2n)}(\xi(x))}{(2n)!} \left[ \prod_{i=1}^{n} (x - x_i)^2 \right] dx \]
- 利用积分中值定理（被积函数连续保号），存在 \(\eta \in (-1,1)\) 使得：
\[ E_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\eta)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} \left[ \prod_{i=1}^{n} (x - x_i)^2 \right] dx \]
- 其中 \(\prod_{i=1}^{n} (x - x_i)^2\) 与 \(L_n^2(x)\) 成正比，通过勒让德多项式性质可进一步化简积分值。
- 结论
- 高斯-勒让德公式的误差与 \(f^{(2n)}(\eta)\) 成正比，说明当函数足够光滑时，误差随n增大快速衰减。
- 此误差公式解释了为何高斯公式在相同节点数下比牛顿-柯特斯公式精度更高。