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区间动态规划例题：最大子数组和问题（环形数组版本）

**区间动态规划例题：最大子数组和问题（环形数组版本）** **题目描述** 给定一个环形整数数组 `nums`（即数组首尾相连），请找出其中连续子数组的最大和。注意：子数组最多只能包含固定数组 `nums` 的每个元素一次（在环形情况下，首尾元素可相连形成子数组）。要求返回最大可能的和。 **示例** 输入：`nums = [5, -3, 5]` 输出：`10` 解释：从最后一个元素开始，绕到第一个元素，子数组 `[5, 5]` 的和为 10。 **解题思路** 环形

2025-10-26 06:32:52

区间交集算法（多区间交集）

**区间交集算法（多区间交集）** **题目描述** 给定多个区间列表（每个列表内的区间已经按左端点排序且内部不相交），找出所有区间列表中都存在的公共区间。例如：列表1: [[1, 3], [5, 9]] 列表2: [[2, 4], [6, 8]] 列表3: [[0, 7]] 需要返回所有列表的公共区间：[[2, 3], [6, 7]]。 --- **解题过程** **步骤1: 理解问题核心** 公共区间需满足两个条件： 1. 在每个列表中至少存在一个区

2025-10-26 06:27:39

区间调度之最多不相交区间问题

**区间调度之最多不相交区间问题** **题目描述** 给定一组区间 `intervals`，每个区间由起始点 `start` 和结束点 `end` 表示。要求选择尽可能多的区间，使得这些区间之间互不重叠（即任意两个区间都没有交集）。最终返回可以选择的**最大区间数量**。 **示例** 输入：`intervals = [[1,3], [2,4], [3,6]]` 输出：`2` 解释：最多可以选择两个不重叠的区间，例如 `[1,3]` 和 `[3,6]`（注意端点相接不算重叠

2025-10-26 06:22:25

区间动态规划例题：最优二叉搜索树问题

**区间动态规划例题：最优二叉搜索树问题** **题目描述** 给定一个有序键值集合 `keys`（例如，`[1, 2, 3, 4]`）和每个键的搜索频率 `freq`（例如，`[3, 1, 2, 1]`），要求构建一棵二叉搜索树（BST），使得所有键的搜索成本总和最小。搜索成本定义为键的深度（从根节点到该节点的路径长度）乘以频率，再对所有键求和。 **示例** 输入： ``` keys = [1, 2, 3, 4] freq = [3, 1, 2, 1] ```

2025-10-26 06:17:12

高斯-克朗罗德积分法

**高斯-克朗罗德积分法** **题目描述** 高斯-克朗罗德积分法是一种数值积分技术，用于计算定积分 \( \int_a^b f(x) \, dx \) 的近似值。该方法在高斯求积节点的基础上增加额外节点，形成嵌套的节点序列，从而在计算积分近似值的同时提供误差估计。常见的实现包括15节点（G7-K15）和21节点（G10-K21）等变体，其中部分节点来自高斯求积公式，其余为新增节点。本题要求推导G7-K15规则的节点与权重，并演示如何利用该方法的嵌套特性进行误差控制。 --- **解

2025-10-26 06:11:40

区间动态规划例题：统计不同回文子序列

**区间动态规划例题：统计不同回文子序列** ### 题目描述给定一个字符串 `s`（长度 ≤ 1000，仅包含 `'a'`、`'b'`、`'c'`、`'d'` 四种字符），要求统计其中**非空且不同**的回文子序列数量。结果需要对 \(10^9 + 7\) 取模。例如： - 输入 `s = "bccb"`，输出 `6`。 - 解释：回文子序列为 `"b"`, `"c"`, `"bb"`, `"cc"`, `"bcb"`, `"bccb"`（注意 `"b"` 和 `

2025-10-26 06:06:20

非线性规划中的近似梯度法基础题

**非线性规划中的近似梯度法基础题** **题目描述：** 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² subject to x₁² + x₂² ≤ 1, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 假设在迭代点 x⁽ᵏ⁾ = (0.5, 0.5) 处，由于函数复杂性无法直接计算精确梯度，需使用近似梯度法（如有限差分法）计算搜索方向。请用中心差分法（步长 h=0.01）计算当前点的近似梯度，并说明如何利用该梯度进行一步迭代。 --- **

2025-10-26 06:00:42

找到旋转排序数组中的最小值

**找到旋转排序数组中的最小值** **题目描述** 假设一个按照升序排列的数组在某个未知的旋转点进行了旋转。例如，数组 `[0,1,2,4,5,6,7]` 可能变成 `[4,5,6,7,0,1,2]`。请找出并返回这个数组中的最小元素。你可以假设数组中不存在重复元素。 **解题过程** 1. **理解问题** 题目中的数组原本是升序的，但经过一次旋转后，变成了两段有序的部分。例如，`[4,5,6,7,0,1,2]` 由 `[4,5,6,7]` 和 `[0,1,2]` 两个

2025-10-26 05:55:23

非线性规划中的投影梯度法基础题

**非线性规划中的投影梯度法基础题** **题目描述：** 考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \] 满足约束： \[ x_1 + x_2 \leq 2, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0. \] 要求使用投影梯度法求解该问题，从初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\) 开始，迭代两步，并分析结果。 --- **解题过程：** **1. 投影梯度法原理简介*

2025-10-26 05:50:11

区间动态规划例题：字符串交织问题

**区间动态规划例题：字符串交织问题** **题目描述** 给定三个字符串 `s1`、`s2` 和 `s3`，判断 `s3` 是否可以由 `s1` 和 `s2` 的字符按顺序交织而成。交织要求保持 `s1` 和 `s2` 中字符的相对顺序。例如： - 输入：`s1 = "aabcc"`, `s2 = "dbbca"`, `s3 = "aadbbcbcac"` - 输出：`true`（因为 `s3` 可拆分为 `"aa"`（来自 s1） + `"dbbc"`（来自 s2） + `

2025-10-26 05:44:50

区间动态规划例题：最长湍流子数组问题

**区间动态规划例题：最长湍流子数组问题** **题目描述** 给定一个整数数组 `arr`，如果某个子数组中元素的比较符号在相邻元素之间来回翻转（即 `arr[i] > arr[i+1] ...` 或 `arr[i] arr[i+2] < ...`），则称该子数组为**湍流子数组**。要求返回 `arr` 中最长湍流子数组的长度。例如： - 输入：`arr = [9,4,2,10,7,8,8,1,9]` 输出：`5`

2025-10-26 05:39:32

最长有效括号

**最长有效括号** **题目描述** 给定一个只包含 `'('` 和 `')'` 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。示例：输入：s = `")()())"` 输出：4 解释：最长有效括号子串是 `"()()"`，长度为 4。 --- **解题过程** **1. 问题分析** 有效括号子串需满足： - 每个左括号 `'('` 必须有对应的右括号 `')'` 匹配。 - 匹配的括号对必须是连续的，例如 `"()()"` 是连续有

2025-10-26 05:34:03

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