非线性规划中的近似梯度法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² subject to x₁² + x₂² ≤ 1, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 假设在迭代点 x⁽ᵏ⁾ = (0.5, 0.5) 处，由于函数复杂性无法直接计算精确梯度，需使用近似梯度法（如有限差分法）计算搜索方向。请用中心差分法（步长 h=0.01）计算当前点的近似梯度，并说明如何利用该梯度进行一步迭代。 解题过程： 1. 问题分析 目标函数 f(x) 包含高次项 (x₁-2)⁴ 和非线性项 (x₁-2x₂)²，约束条件为圆域和非负限制。在 x⁽ᵏ⁾=(0.5,0.5) 处，需通过数值方法近似梯度，因为直接求导可能因计算资源或函数复杂性而困难。 2. 近似梯度计算（中心差分法） 中心差分公式为： ∇f(x)ᵢ ≈ [ f(x+h⋅eᵢ) - f(x-h⋅eᵢ) ] / (2h)，其中 eᵢ 为第 i 个单位向量，h=0.01。 计算 ∂f/∂x₁ 的近似值 ： f(x+h⋅e₁) = f(0.5+0.01, 0.5) = f(0.51, 0.5) = (0.51-2)⁴ + (0.51-2×0.5)² = (-1.49)⁴ + (0.51-1)² = 4.9280 + 0.2401 = 5.1681 f(x-h⋅e₁) = f(0.5-0.01, 0.5) = f(0.49, 0.5) = (0.49-2)⁴ + (0.49-1)² = (-1.51)⁴ + (-0.51)² = 5.1980 + 0.2601 = 5.4581 ∂f/∂x₁ ≈ (5.1681 - 5.4581) / (2×0.01) = (-0.29) / 0.02 = -14.5 计算 ∂f/∂x₂ 的近似值 ： f(x+h⋅e₂) = f(0.5, 0.5+0.01) = f(0.5, 0.51) = (0.5-2)⁴ + (0.5-2×0.51)² = (-1.5)⁴ + (0.5-1.02)² = 5.0625 + 0.2704 = 5.3329 f(x-h⋅e₂) = f(0.5, 0.5-0.01) = f(0.5, 0.49) = (0.5-2)⁴ + (0.5-0.98)² = 5.0625 + 0.2304 = 5.2929 ∂f/∂x₂ ≈ (5.3329 - 5.2929) / 0.02 = 0.04 / 0.02 = 2.0 近似梯度为 ∇f ≈ (-14.5, 2.0)。 3. 迭代方向确定 由于约束存在，需结合可行方向法。当前点 x⁽ᵏ⁾=(0.5,0.5) 位于圆内（0.5²+0.5²=0.5 <1）且满足非负约束，因此可用负梯度方向作为搜索方向： d = -∇f ≈ (14.5, -2.0) 4. 步长选择与迭代更新 需保证新点 x⁽ᵏ⁺¹⁾ = x⁽ᵏ⁾ + αd 满足约束。通过简单试探（如 α=0.01）： x₁⁽ᵏ⁺¹⁾ = 0.5 + 0.01×14.5 = 0.645 x₂⁽ᵏ⁺¹⁾ = 0.5 - 0.01×2.0 = 0.48 检查约束：0.645² + 0.48² ≈ 0.416 + 0.230 = 0.646 < 1，且坐标非负，可行。 5. 结论 使用中心差分法得到近似梯度后，沿负方向移动并选择适当步长，即可完成一步迭代。实际应用中需结合线搜索（如Armijo准则）优化步长，并重复过程直至收敛。