高斯-克朗罗德积分法
字数 1927 2025-10-26 09:00:43

高斯-克朗罗德积分法

题目描述
高斯-克朗罗德积分法是一种数值积分技术，用于计算定积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 的近似值。该方法在高斯求积节点的基础上增加额外节点，形成嵌套的节点序列，从而在计算积分近似值的同时提供误差估计。常见的实现包括15节点（G7-K15）和21节点（G10-K21）等变体，其中部分节点来自高斯求积公式，其余为新增节点。本题要求推导G7-K15规则的节点与权重，并演示如何利用该方法的嵌套特性进行误差控制。

解题过程

1. 方法基础

高斯-克朗罗德法的核心思想是：

  • 在区间 \([-1, 1]\) 上选取 \(n\) 个高斯节点（例如 \(n=7\)）及其对应权重，计算高斯求积公式的积分近似值 \(G_n\)。
  • 额外插入 \(n+1\) 个新节点（如 \(n=7\) 时新增8个节点），与原有节点合并形成 \(2n+1\) 个节点（如15个节点），重新计算积分近似值 \(K_{2n+1}\)。
  • 通过比较 \(G_n\) 和 \(K_{2n+1}\) 的差异，估计计算误差。若误差超过阈值，可自适应细分区间。

2. 节点与权重的推导（以G7-K15为例）

步骤1：选择高斯节点

对于7点高斯求积公式，节点 \(x_i^{(G)}\) 是7次勒让德多项式 \(P_7(x)\) 的根，权重 \(w_i^{(G)}\) 由公式

\[w_i^{(G)} = \frac{2}{(1-x_i^2)[P_7'(x_i)]^2} \]

计算。这些节点对称分布于 \([-1, 1]\)，例如（精确值需查表）：

\[x_i^{(G)} \approx \pm0.949107, \pm0.741531, \pm0.405845, 0 \]

步骤2：插入克朗罗德节点

在每对高斯节点之间插入一个新节点，同时保留所有高斯节点，共形成15个节点。新节点需满足：

  • 与高斯节点一起构成更高精度的求积公式（21次多项式精确积分）。
  • 节点位置通过求解非线性方程组确定，权重由待定系数法计算。

最终G7-K15的节点和权重可通过标准数值表获取（例如QUADPACK库中的数据）。

3. 积分计算与误差估计

  1. 计算高斯近似值 \(G_7\)：

\[ G_7 = \sum_{i=1}^7 w_i^{(G)} f(x_i^{(G)}) \]

  1. 计算克朗罗德近似值 \(K_{15}\)：

\[ K_{15} = \sum_{i=1}^{15} w_i^{(K)} f(x_i^{(K)}) \]

  1. 误差估计：
    利用差值 \(E \approx |K_{15} - G_7|\) 作为误差估计。若 \(E\) 小于预设容差，接受 \(K_{15}\) 为积分结果；否则将区间细分，递归应用该方法。

4. 自适应策略

若整个区间上的误差估计不满足要求：

  1. 将区间 \([a, b]\) 平分为两个子区间。
  2. 对每个子区间映射到 \([-1, 1]\)，重新应用G7-K15规则。
  3. 递归执行直到所有子区间的误差之和满足容差。

映射公式：
对于子区间 \([c, d]\)，令

\[x = \frac{d-c}{2}t + \frac{c+d}{2}, \quad dx = \frac{d-c}{2} dt \]

积分变为

\[\int_c^d f(x) dx = \frac{d-c}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{d-c}{2}t + \frac{c+d}{2}\right) dt \]

5. 示例计算

计算 \(I = \int_0^1 e^{-x^2} dx\)，容差 \(10^{-6}\)：

  1. 将 \([0,1]\) 映射到 \([-1,1]\)：令 \(x = (t+1)/2\)，则

\[ I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 e^{-(t+1)^2/4} dt \]

  1. 首次调用G7-K15，得 \(K_{15} \approx 0.746824\)，\(G_7 \approx 0.746826\)，误差 \(E \approx 2\times10^{-6}\)。
  2. 若 \(E\) 超容差，将区间分为 \([0,0.5]\) 和 \([0.5,1]\)，分别递归计算。
  3. 最终合并子结果得到高精度积分值。

关键点总结

  • 高斯-克朗罗德法通过嵌套节点实现高效误差估计。
  • 节点和权重需预先计算（查表），实际应用直接调用。
  • 自适应细分策略能有效处理被积函数变化剧烈的场景。
高斯-克朗罗德积分法 题目描述 高斯-克朗罗德积分法是一种数值积分技术，用于计算定积分 \( \int_ a^b f(x) \, dx \) 的近似值。该方法在高斯求积节点的基础上增加额外节点，形成嵌套的节点序列，从而在计算积分近似值的同时提供误差估计。常见的实现包括15节点（G7-K15）和21节点（G10-K21）等变体，其中部分节点来自高斯求积公式，其余为新增节点。本题要求推导G7-K15规则的节点与权重，并演示如何利用该方法的嵌套特性进行误差控制。 解题过程 1. 方法基础 高斯-克朗罗德法的核心思想是： 在区间 \([ -1, 1]\) 上选取 \(n\) 个高斯节点（例如 \(n=7\)）及其对应权重，计算高斯求积公式的积分近似值 \(G_ n\)。 额外插入 \(n+1\) 个新节点（如 \(n=7\) 时新增8个节点），与原有节点合并形成 \(2n+1\) 个节点（如15个节点），重新计算积分近似值 \(K_ {2n+1}\)。 通过比较 \(G_ n\) 和 \(K_ {2n+1}\) 的差异，估计计算误差。若误差超过阈值，可自适应细分区间。 2. 节点与权重的推导（以G7-K15为例） 步骤1：选择高斯节点 对于7点高斯求积公式，节点 \(x_ i^{(G)}\) 是7次勒让德多项式 \(P_ 7(x)\) 的根，权重 \(w_ i^{(G)}\) 由公式 \[ w_ i^{(G)} = \frac{2}{(1-x_ i^2)[ P_ 7'(x_ i) ]^2} \] 计算。这些节点对称分布于 \([ -1, 1 ]\)，例如（精确值需查表）： \[ x_ i^{(G)} \approx \pm0.949107, \pm0.741531, \pm0.405845, 0 \] 步骤2：插入克朗罗德节点 在每对高斯节点之间插入一个新节点，同时保留所有高斯节点，共形成15个节点。新节点需满足： 与高斯节点一起构成更高精度的求积公式（21次多项式精确积分）。 节点位置通过求解非线性方程组确定，权重由待定系数法计算。 最终G7-K15的节点和权重可通过标准数值表获取（例如QUADPACK库中的数据）。 3. 积分计算与误差估计 计算高斯近似值 \(G_ 7\) ： \[ G_ 7 = \sum_ {i=1}^7 w_ i^{(G)} f(x_ i^{(G)}) \] 计算克朗罗德近似值 \(K_ {15}\) ： \[ K_ {15} = \sum_ {i=1}^{15} w_ i^{(K)} f(x_ i^{(K)}) \] 误差估计 ： 利用差值 \(E \approx |K_ {15} - G_ 7|\) 作为误差估计。若 \(E\) 小于预设容差，接受 \(K_ {15}\) 为积分结果；否则将区间细分，递归应用该方法。 4. 自适应策略 若整个区间上的误差估计不满足要求： 将区间 \([ a, b ]\) 平分为两个子区间。 对每个子区间映射到 \([ -1, 1 ]\)，重新应用G7-K15规则。 递归执行直到所有子区间的误差之和满足容差。 映射公式： 对于子区间 \([ c, d ]\)，令 \[ x = \frac{d-c}{2}t + \frac{c+d}{2}, \quad dx = \frac{d-c}{2} dt \] 积分变为 \[ \int_ c^d f(x) dx = \frac{d-c}{2} \int_ {-1}^1 f\left(\frac{d-c}{2}t + \frac{c+d}{2}\right) dt \] 5. 示例计算 计算 \(I = \int_ 0^1 e^{-x^2} dx\)，容差 \(10^{-6}\)： 将 \([ 0,1]\) 映射到 \([ -1,1 ]\)：令 \(x = (t+1)/2\)，则 \[ I = \frac{1}{2} \int_ {-1}^1 e^{-(t+1)^2/4} dt \] 首次调用G7-K15，得 \(K_ {15} \approx 0.746824\)，\(G_ 7 \approx 0.746826\)，误差 \(E \approx 2\times10^{-6}\)。 若 \(E\) 超容差，将区间分为 \([ 0,0.5]\) 和 \([ 0.5,1 ]\)，分别递归计算。 最终合并子结果得到高精度积分值。 关键点总结 高斯-克朗罗德法通过嵌套节点实现高效误差估计。 节点和权重需预先计算（查表），实际应用直接调用。 自适应细分策略能有效处理被积函数变化剧烈的场景。