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xxx 最小生成树计数问题（Kirchhoff 定理）

**xxx 最小生成树计数问题（Kirchhoff 定理）** ### 题目描述给定一个连通无向图 G=(V,E)，其中每条边没有特定的权重（或所有边权重相等）。我们需要计算该图的不同最小生成树（MST）的数量。注意，由于所有边权重相等，任何生成树都是最小生成树，因此问题等价于计算该图所有生成树的数量。 ### 解题思路我们将使用基尔霍夫定理（Kirchhoff's Matrix Tree Theorem）来解决此问题。该定理表明，一个图的生成树数量可以通过计算其拉普拉斯矩阵的任意一个代

2025-11-25 07:13:45

xxx 最大流问题（Push-Relabel 算法）

**xxx 最大流问题（Push-Relabel 算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( (u, v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u, v) \geq 0 \)。指定两个特殊顶点：源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。最大流问题的目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流量，满足以下约束： 1. **容量约束**：每条边的流量不超过其容量，即 \( 0 \leq f(u, v) \leq

2025-11-25 06:16:15

最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法）

**最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法）** 我将为您详细讲解最小费用最大流问题中的Successive Shortest Path算法。这是一个经典的组合优化问题，旨在在满足流量约束的同时最小化总运输成本。 **问题描述** 给定一个有向图G=(V,E)，其中： - 每条边(u,v)∈E有一个容量c(u,v)≥0和一个费用w(u,v)∈R - 源点s有无限供应，汇点t有无限需求 - 目标：在满足容量约束和流量守恒的前提下，找到从s到t的最大流，且总费用

2025-11-25 01:16:34

Ford-Fulkerson方法中的容量缩放优化

**Ford-Fulkerson方法中的容量缩放优化** **题目描述** 容量缩放优化是Ford-Fulkerson方法的一种改进，用于求解最大流问题。给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0，以及源点s和汇点t。目标是找到从s到t的最大流，同时满足容量约束和流量守恒。容量缩放通过优先处理较大容量的边来减少增广路径的寻找次数，从而提升算法效率。 **解题过程** 1. **基本概念回顾** - 残量图：对于当前流f，残量图G_f

2025-11-24 16:05:50

xxx 有向无环图（DAG）中的单源最短路径问题

**xxx 有向无环图（DAG）中的单源最短路径问题** **题目描述** 给定一个带权有向无环图（DAG）和一个源顶点 \( s \)，求从 \( s \) 到图中所有其他顶点的最短路径。边的权值可以是正数、负数或零，但图中不允许有环（否则最短路径可能无定义）。 --- **解题过程** **1. 问题分析** - 在一般图中，若存在负权边，常用 Bellman-Ford 算法（\(O(VE)\) 时间复杂度）；若无非负权约束，可用 Dijkstra 算法（\(O(E +

2025-11-24 11:20:07

xxx 无向图的最小割的 Karger 算法

**xxx 无向图的最小割的 Karger 算法** **题目描述** 给定一个无向连通图 G=(V,E)，每条边可能带有权重（也可以是无权图，即所有边权重为1）。图的一个割是将顶点集 V 划分成两个非空子集 S 和 V\S。割的大小是连接 S 和 V\S 子集的所有边的权重之和（对于无权图，就是边的数量）。最小割问题是寻找一个割，使得割的大小最小。Karger 算法是一个随机算法，用于求解无向图的最小割问题。它通过随机边收缩来减少顶点数量，最终以一定概率输出最小割。 **解题过程** 1

2025-11-24 08:36:17

最大团问题（回溯算法）

**最大团问题（回溯算法）** **题目描述** 给定一个无向图G=(V,E)，找出图中最大的团。团（clique）是图的一个完全子图，即子图中的任意两个顶点都直接相连。最大团是指包含顶点数最多的团。 **解题过程** **步骤1：理解问题本质** - 团是图的一个子集，其中任意两个顶点都有边连接 - 最大团问题是NP完全问题，没有已知的多项式时间解法 - 回溯算法通过系统地尝试所有可能的顶点子集来寻找最大团 **步骤2：回溯算法基本思想** 算法维护三个集合： - 当前团（curren

2025-11-24 08:31:05

xxx 最小生成树的 Borůvka 算法

**xxx 最小生成树的 Borůvka 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)，要求找到图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的连通无环子图，且所有边的权重之和最小。Borůvka 算法是一种用于求解最小生成树的高效算法，特别适合并行计算和稀疏图。 **解题过程** Borůvka 算法的核心思想是分阶段进行多轮操作，每轮中每个连通分量选择

2025-11-24 07:48:55

Kosaraju-Sharir算法求有向图的强连通分量

**Kosaraju-Sharir算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，要求找出其所有强连通分量（Strongly Connected Component, SCC）。强连通分量是图的一个极大子图，其中任意两个顶点 \( u \) 和 \( v \) 均相互可达（即存在从 \( u \) 到 \( v \) 的路径，也存在从 \( v \) 到 \( u \) 的路径）。Kosaraju-Sharir 算法通过两次深度优先搜索（D

2025-11-23 05:20:25

xxx 最小割的 Karger 算法

**xxx 最小割的 Karger 算法** **问题描述** 给定一个无向连通图 G=(V,E)，每条边有一个非负权重（或容量），最小割问题是找到一组边，删除后会使图变得不连通，且这组边的权重之和最小。Karger 算法是一种随机算法，通过反复收缩边来求解最小割，特别适合处理边权相等的情况。 **算法步骤** 1. **初始化** - 将原图 G 复制到当前图 G' 中 - 记录当前最小割值 min_cut = ∞ 2. **重复执行以下过程足够多次（通常为 n² log

2025-11-22 18:16:28

有向图中的欧拉回路（Hierholzer算法）

**有向图中的欧拉回路（Hierholzer算法）** **问题描述** 给定一个有向图，判断是否存在欧拉回路，如果存在则找出该回路。欧拉回路是指一条经过图中每条边恰好一次且起点和终点相同的路径。 **基本概念** 1. 欧拉回路存在的充要条件： - 图是强连通的（不考虑孤立顶点） - 每个顶点的入度等于出度 2. 算法核心思想： - 从任意顶点开始进行深度优先遍历 - 在回溯过程中将顶点加入回路 - 利用栈来管理未完成的路径 **算法步骤详解** **步

2025-11-22 15:37:36

寻找无向图中的所有桥（Bridges）问题

**寻找无向图中的所有桥（Bridges）问题** **问题描述** 在无向连通图中，桥是指这样的一条边：如果移除它，图的连通分量数量会增加。换句话说，桥是连接两个连通部分的关键边，删除后图会变得不连通。我们需要设计一个算法，找出给定无向图中的所有桥。 **基础概念** 1. **连通图**：图中任意两个顶点之间都存在路径。 2. **桥**：一条边 (u, v) 是桥，当且仅当删除它后，原图分裂成两个或多个连通分量。 3. **DFS 生成树**：通过深度优先搜索遍历图时形

2025-11-22 14:07:49

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