最大团问题（回溯算法）

题目描述
给定一个无向图G=(V,E)，找出图中最大的团。团（clique）是图的一个完全子图，即子图中的任意两个顶点都直接相连。最大团是指包含顶点数最多的团。

解题过程

步骤1：理解问题本质

• 团是图的一个子集，其中任意两个顶点都有边连接
• 最大团问题是NP完全问题，没有已知的多项式时间解法
• 回溯算法通过系统地尝试所有可能的顶点子集来寻找最大团

步骤2：回溯算法基本思想
算法维护三个集合：

• 当前团（current_clique）：当前正在构建的团
• 候选顶点（candidates）：可能加入当前团的顶点
• 最大团（max_clique）：迄今为止找到的最大团

步骤3：算法框架

function find_maximum_clique(graph):
    max_clique = ∅
    current_clique = ∅
    candidates = 所有顶点
    backtrack(current_clique, candidates)
    return max_clique

步骤4：回溯函数设计

function backtrack(current_clique, candidates):
    if candidates = ∅:
        if |current_clique| > |max_clique|:
            max_clique = current_clique
        return
    
    while candidates ≠ ∅:
        v = 从candidates中选择一个顶点
        new_candidates = candidates中与v相邻的顶点
        backtrack(current_clique ∪ {v}, new_candidates)
        candidates = candidates - {v}

步骤5：详细步骤说明

1. 初始化阶段

   • 当前团设为空集
   • 候选集包含所有顶点
   • 最大团初始化为空集

2. 递归展开过程

   • 从候选集中依次选择顶点v
   • 检查v是否能加入当前团（与当前团中所有顶点都相邻）
   • 如果能加入，则：
     • 将v加入当前团
     • 更新候选集：只保留与v相邻的顶点
     • 递归调用回溯函数

3. 剪枝优化

   • 如果当前团大小 + 候选集大小 ≤ 最大团大小，可以提前返回
   • 按顶点度数的降序选择顶点，可能更快找到大团

步骤6：具体示例
考虑图：顶点{1,2,3,4}，边{(1,2),(1,3),(2,3),(2,4)}

执行过程：

1. 从顶点1开始：当前团={1}，候选集={2,3}
2. 选择顶点2：当前团={1,2}，候选集={3}
3. 选择顶点3：当前团={1,2,3}，候选集={}
4. 找到团{1,2,3}，大小=3
5. 回溯尝试其他分支...

步骤7：时间复杂度分析

• 最坏情况：O(2^n)，n为顶点数
• 实际运行中，剪枝能显著减少搜索空间
• 对于稀疏图，性能相对较好

步骤8：优化策略

1. 顶点排序：按度数从大到小排序
2. 上界剪枝：当前团大小 + 剩余候选数 ≤ 最大团大小时剪枝
3. 颜色剪枝：使用图着色提供更好的上界估计

该算法虽然在最坏情况下是指数级的，但对于中等规模的图在实际应用中表现良好。