最小费用最大流问题（Successive Shortest Path算法） 我将为您详细讲解最小费用最大流问题中的Successive Shortest Path算法。这是一个经典的组合优化问题，旨在在满足流量约束的同时最小化总运输成本。 问题描述 给定一个有向图G=(V,E)，其中： 每条边(u,v)∈E有一个容量c(u,v)≥0和一个费用w(u,v)∈R 源点s有无限供应，汇点t有无限需求 目标：在满足容量约束和流量守恒的前提下，找到从s到t的最大流，且总费用最小 算法核心思想 Successive Shortest Path算法基于贪心策略，每次沿着费用最小的增广路径发送尽可能多的流量。关键在于使用势函数来保证残量图中没有负费用圈。 详细解题步骤 步骤1：初始化 初始流f设为0（对所有边f(u,v)=0） 初始势函数π(v)=0（对所有顶点v∈V） 构建残量图G_ f，其中残量容量r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)，反向边容量r(v,u)=f(u,v) 步骤2：计算约化费用 对于残量图中的每条边(u,v)，计算约化费用： w_ π(u,v) = w(u,v) + π(u) - π(v) 这个约化费用确保在势函数正确的情况下，残量图中没有负费用边。 步骤3：寻找增广路径 在残量图中，使用Bellman-Ford算法或Dijkstra算法（在非负费用情况下）找到从s到t的最短路径。这里的最短指的是费用最小。 步骤4：更新流和残量图 设找到的路径为P，其最小残量容量为δ = min{r(u,v) | (u,v)∈P} 沿路径P推送δ单位的流量： 对于正向边(u,v)，增加f(u,v) += δ 对于反向边(v,u)，减少f(v,u) -= δ 更新残量图中的容量 步骤5：更新势函数 如果使用Dijkstra算法，需要更新势函数： π'(v) = π(v) + d(v) 其中d(v)是从s到v的最短距离 步骤6：终止条件 重复步骤2-5，直到无法找到从s到t的路径，或者达到最大流 实例演示 考虑一个简单网络： 顶点：s, a, b, t 边： (s,a): 容量=3, 费用=1 (s,b): 容量=2, 费用=2 (a,b): 容量=1, 费用=1 (a,t): 容量=2, 费用=2 (b,t): 容量=3, 费用=1 第一次迭代： 最短路径：s→a→t，费用=1+2=3 推送流量：min(3,2)=2 总流量=2，总费用=2×3=6 第二次迭代： 更新残量图后，最短路径：s→b→t，费用=2+1=3 推送流量：min(2,3)=2 总流量=4，总费用=6+2×3=12 第三次迭代： 最短路径：s→a→b→t，费用=1+1+1=3 推送流量：min(1,1,1)=1 总流量=5，总费用=12+1×3=15 此时达到最大流，算法终止。 算法复杂度 时间复杂度：O(F × E log V)，其中F是最大流值 使用势函数和Dijkstra算法可以处理负费用边 关键要点 势函数确保约化费用非负，从而可以使用高效的Dijkstra算法 每次迭代都沿着当前费用最小的路径增广 算法保证找到最小费用最大流，前提是初始残量图中没有负费用圈 这个算法在实际应用中非常广泛，如物流运输、网络优化、资源分配等领域。