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核岭回归（Kernel Ridge Regression）的原理与计算过程

**核岭回归（Kernel Ridge Regression）的原理与计算过程** **题目描述** 核岭回归是一种结合了核技巧与岭回归的机器学习算法，用于解决非线性回归问题。给定训练数据集 \( D = \{ (\mathbf{x}_i, y_i) \}_{i=1}^n \)，其中 \(\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d\) 是输入特征，\(y_i \in \mathbb{R}\) 是连续目标值，目标是学习一个非线性函数 \(f(\mathbf{x})\)，使得对新样

2025-11-07 09:39:11

高斯混合模型（GMM）的期望最大化（EM）算法求解过程

**高斯混合模型（GMM）的期望最大化（EM）算法求解过程** **题目描述** 高斯混合模型（GMM）是一种用多个高斯分布的加权和来描述数据分布的聚类算法。假设观测数据由K个高斯分布生成，但每个数据点具体来自哪个分布未知（隐变量）。EM算法通过迭代优化，估计GMM的参数（各高斯分布的权重、均值和协方差）。题目要求详细讲解EM算法在GMM中的求解步骤，包括E步（求隐变量后验概率）和M步（更新参数）的数学推导与计算流程。 --- **解题过程** 1. **问题定义** -

2025-11-07 09:23:12

图论中的最小高度生成树问题

**图论中的最小高度生成树问题** **题目描述** 给定一个无向连通图G=(V,E)，我们需要找到一棵生成树T，使得T的高度最小。生成树的高度定义为从根节点到最远叶节点的路径长度（边数）。最小高度生成树问题就是要找到所有生成树中高度最小的那棵树。 **问题分析** 1. 这是一个优化问题，需要在所有生成树中找到高度最小的解 2. 高度与树的直径密切相关，最小高度生成树实际上就是最小直径生成树 3. 问题的关键在于找到图的"中心"节点作为根 **基本概念** - 图的中心：图中偏心率最小的

2025-11-07 09:17:50

基于线性规划的图最小费用流问题求解示例

**基于线性规划的图最小费用流问题求解示例** **题目描述** 假设有一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( (i, j) \in E \) 有容量 \( u_{ij} \)（最大允许流量）和单位流量费用 \( c_{ij} \)。每个节点 \( i \in V \) 有净需求 \( b_i \)（若 \( b_i > 0 \) 表示供应量，\( b_i < 0 \) 表示需求量，且需满足 \( \sum_i b_i = 0 \)）。目标是找到一组边流量 \( x

2025-11-07 09:01:57

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题

**非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题** **题目描述：** 考虑以下非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \) 满足约束： \[ g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \] \[ g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0 \] \[ h_1(

2025-11-07 08:51:08

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的变量替换技巧

**高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的变量替换技巧** **题目描述** 考虑计算定积分 \( I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 内存在一个狭窄的峰值（例如高斯型函数 \( e^{-100(x-0.5)^2} \)）。若直接使用标准高斯-勒让德求积公式，由于峰值区域节点可能不足，会导致精度显著下降。本题要求通过变量替换技巧，将峰值区域的密度映射到求积节点上，从而提高计算精度。 **解题

2025-11-07 08:34:51

LeetCode 1466. 重新规划路线

**LeetCode 1466. 重新规划路线** **题目描述：** 有 `n` 个城市（编号从 `0` 到 `n-1`），以及 `n-1` 条连接这些城市的道路，使得任意两个城市之间只有一条路径可以互通（即这些道路构成了一棵树）。最初，这些道路是单向的，由一个数组 `connections` 表示，其中 `connections[i] = [a_i, b_i]` 表示存在一条从城市 `a_i` 到城市 `b_i` 的单向道路。现在，我们需要重新规划一些道路的方向，使得每个城市都能到达城

2025-11-07 08:29:36

自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧

**自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧** **题目描述** 考虑计算积分 \[ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx, \quad f(x) = e^{-x/\varepsilon} \sin(x) \] 其中 \(\varepsilon \ll 1\)（例如 \(\varepsilon = 0.01\)）。函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 附近存在边界层（急剧变化区域），直接使用数值积分方法（如高斯-克朗罗德法）可能因采

2025-11-07 08:08:27

排序算法之：循环不变式在 Strand Sort 中的正确性证明

**排序算法之：循环不变式在 Strand Sort 中的正确性证明** **题目描述** Strand Sort 是一种基于归并策略的排序算法，其核心思想是反复从原列表中提取已排序的“ Strand ”（连续递增子序列），并将这些 Strand 归并到结果列表中。要求使用**循环不变式**严格证明 Strand Sort 的正确性，即证明算法在每一步执行后均保持部分有序性，且最终得到完整有序序列。 **解题过程** **1. Strand Sort 算法步骤回顾**

2025-11-07 08:03:10

分块矩阵的预处理FGMRES算法解多重线性方程组

**分块矩阵的预处理FGMRES算法解多重线性方程组** 我将为您讲解分块矩阵的预处理FGMRES算法在求解多重线性方程组中的应用。这个算法结合了分块矩阵处理、灵活GMRES方法和多重右端项求解技术。 **问题描述** 考虑需要求解一组具有相同系数矩阵但不同右端项的多重线性方程组： $$AX = B$$ 其中： - $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是大规模稀疏非对称矩阵 - $B = [b_1, b_2, ..., b_m] \in \mathbb{R}^{

2025-11-07 07:46:59

区间动态规划例题：最小涂色次数问题（环形版本）

**区间动态规划例题：最小涂色次数问题（环形版本）** **题目描述** 有一个环形栅栏由n个木桩组成，每个木桩需要涂上特定的颜色。给定一个长度为n的环形颜色数组colors，其中colors[i]表示第i个木桩的颜色。每次涂色操作可以选择一段连续的木桩，将它们涂成同一种颜色。但涂色会覆盖之前的颜色。问最少需要多少次涂色操作才能让所有木桩涂上目标颜色。注意：由于是环形，第一个木桩和最后一个木桩是相邻的。 **解题思路** 这个问题是"奇怪的打印机"问题的环形版本。我们需要将环形问题转化为

2025-11-07 07:15:34

分块矩阵的预处理FGMRES算法解多重线性方程组

**分块矩阵的预处理FGMRES算法解多重线性方程组** **题目描述** 考虑需要求解一系列具有相同系数矩阵但不同右端项的多重线性方程组：AX = B，其中A是n×n大型稀疏矩阵，B是n×m矩阵（包含m个右端项），X是待求解的n×m矩阵。这类问题常见于参数化研究、时变系统求解等场景。直接对每个右端项独立使用迭代法（如GMRES）计算成本高，而分块预处理灵活广义最小残差法（Block Preconditioned Flexible GMRES, FGMRES）通过共享Krylov子空间和预处理

2025-11-07 07:10:22

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