自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧
题目描述
考虑计算积分
\[I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx, \quad f(x) = e^{-x/\varepsilon} \sin(x) \]
其中 \(\varepsilon \ll 1\)（例如 \(\varepsilon = 0.01\)）。函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 附近存在边界层（急剧变化区域），直接使用数值积分方法（如高斯-克朗罗德法）可能因采样不足导致精度不足。要求结合变量替换技巧，设计自适应高斯-克朗罗德积分法，高效计算此类积分。
解题过程
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问题分析
- 边界层特征：当 \(\varepsilon\) 极小时，\(e^{-x/\varepsilon}\) 在 \(x=0\) 附近急剧衰减，函数梯度极大。
- 直接积分的困难：均匀采样会忽略边界层细节，需在边界层内密集采样，外部稀疏采样。
- 解决思路：通过变量替换 \(x = \phi(t)\)，将积分区间映射为新区间，使采样点在原区间非均匀分布，边界层内节点更密集。
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变量替换设计
- 选择替换函数：令 \(x = -\varepsilon \ln(1-t)\)，则：
\[ dx = \frac{\varepsilon}{1-t} dt, \quad t \in [0, 1-e^{-1/\varepsilon}] \]
但此映射将 $x \in [0,1]$ 压缩到 $t$ 的极小区间，不实用。改进为伸缩映射：
\[ x = -\varepsilon \ln(1 - c t), \quad c = 1 - e^{-1/\varepsilon} \]
此时 $t \in [0,1]$ 对应 $x \in [0,1]$，且 $dx/dt = \varepsilon c / (1 - c t)$。
- 积分变换：
\[ I = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} f\left(-\varepsilon \ln(1 - c t)\right) \cdot \frac{\varepsilon c}{1 - c t} dt \]
新被积函数 $g(t) = f(x(t)) \cdot \frac{\varepsilon c}{1 - c t}$ 在 $t$ 区间内变化平缓，易于数值积分。
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自适应高斯-克朗罗德法实现
- 基础公式：在子区间 \([a,b]\) 上，使用 \(n\)-点高斯求积（如 \(n=7\)）计算近似值 \(G_n\)，并用 \(2n+1\)-点克朗罗德规则（如 \(15\) 点）计算更精确值 \(K_{2n+1}\)。
- 误差估计：\(\Delta = |G_n - K_{2n+1}|\)。若 \(\Delta < \text{tol} \cdot (b-a)\)，则接受 \(K_{2n+1}\)；否则将区间二分递归处理。
- 自适应控制：根据误差调整局部精度，避免全局均匀采样。
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结合变量替换的算法步骤
- 步骤1：定义原函数 \(f(x) = e^{-x/\varepsilon} \sin(x)\) 和映射函数 \(x(t) = -\varepsilon \ln(1 - c t)\)。
- 步骤2：计算变换后的被积函数：
\[ g(t) = e^{-x(t)/\varepsilon} \sin(x(t)) \cdot \frac{\varepsilon c}{1 - c t} = \sin(x(t)) \cdot \frac{\varepsilon c}{1 - c t} \]
（注意 $e^{-x(t)/\varepsilon} = 1 - c t$，与分母抵消，简化后 $g(t) = \sin(x(t)) \cdot \varepsilon c$）。
- 步骤3：在 \(t \in [0,1]\) 上应用自适应高斯-克朗罗德法计算 \(I = \int_{0}^{1} g(t) dt\)。
- 步骤4：递归终止条件：若子区间误差小于容差 \(\text{tol} \cdot (b-a)\)，或递归深度超限，则返回当前结果。
- 误差与效率分析
- 变量替换优势：将边界层区域的梯度集中问题转化为平滑函数积分，减少自适应算法所需的递归深度。
- 计算复杂度：未经替换时，自适应算法可能在 \(x=0\) 附近递归多次；替换后整体递归次数显著降低。
关键点总结
- 变量替换的核心是构造映射 \(x(t)\)，使导数 \(dx/dt\) 在边界层内较大，自动加密采样点。
- 高斯-克朗罗德法提供嵌套节点和误差估计，适合与自适应策略结合。
- 实际应用中需平衡映射函数的复杂度和积分效率，避免引入新的计算开销。