非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题
字数 3425 2025-11-07 12:32:50

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题

题目描述：
考虑以下非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
满足约束：

\[g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \]

\[ g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0 \]

\[ h_1(x) = x_1 + 2x_2 - 2 = 0 \]

其中 \(x = [x_1, x_2]^T \in \mathbb{R}^2\)。该问题包含非线性不等式约束和线性等式约束，目标函数为凸二次函数，但约束集非凸。要求使用一种混合算法策略求解该问题，确保收敛到局部最优解。

解题过程：

1. 问题分析与初始化

  • 目标：最小化 \(f(x)\) 同时满足 \(g_1(x) \leq 0\)、\(g_2(x) \leq 0\) 和 \(h_1(x) = 0\)。
  • 挑战：约束 \(g_1(x)\) 是非线性的，导致可行域非凸；等式约束进一步增加复杂性。
  • 初始化：选择初始点 \(x^{(0)} = [0, 0]^T\)。计算初始目标值 \(f(x^{(0)}) = 4\)，约束违反度 \(\max(0, g_1(x^{(0)}), g_2(x^{(0)})) + |h_1(x^{(0)})| = 2\)（违反 \(g_2\) 和 \(h_1\)）。
  • 混合算法框架：结合序列二次规划（SQP）的局部收敛性、积极集法处理约束、乘子法处理等式约束、过滤器避免罚函数权衡、信赖域保证稳定性、自适应屏障处理不等式、代理模型简化计算、梯度投影处理边界，并集成交替方向乘子法（ADMM）分解问题。逐步凸逼近和动态隧道法辅助全局搜索，填充函数和松弛变量增强可行性。

2. 构建自适应屏障函数

  • 将不等式约束转换为屏障项，避免内点法的严格内点要求。自适应屏障参数 \(\mu_k\) 初始化为 \(\mu_0 = 1\)。
  • 屏障函数：\(B(x; \mu_k) = f(x) - \mu_k \sum_{i=1}^2 \log(-g_i(x))\)，但仅当 \(g_i(x) < 0\) 时有效。对于违反的约束，使用松弛变量 \(s_i \geq 0\) 将 \(g_i(x) \leq 0\) 重写为 \(g_i(x) + s_i = 0\)。
  • 松弛后问题：最小化 \(f(x) + \lambda \sum s_i\)（其中 \(\lambda\) 为惩罚参数），满足 \(g_i(x) + s_i = 0\) 和 \(h_1(x) = 0\)。

3. 增广拉格朗日乘子法处理等式约束

  • 将等式约束 \(h_1(x) = 0\) 和松弛后的等式 \(g_i(x) + s_i = 0\) 纳入增广拉格朗日函数：

\[L_A(x, s, \lambda, \rho) = f(x) + \lambda_1 h_1(x) + \frac{\rho}{2} h_1(x)^2 + \sum_{i=1}^2 \left[ \lambda_{i+1} (g_i(x) + s_i) + \frac{\rho}{2} (g_i(x) + s_i)^2 \right] \]

  • 初始乘子 \(\lambda^{(0)} = [0, 0, 0]^T\)，罚参数 \(\rho_0 = 10\)。

4. 序列二次规划（SQP）子问题

  • 在第 \(k\) 次迭代，当前点 \(x^{(k)}\)，构建二次规划（QP）子问题近似原问题：
    • 目标函数近似：\(\nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T H_k d\)，其中 \(d = x - x^{(k)}\)，\(H_k\) 为Hessian矩阵的近似（使用BFGS更新）。
    • 约束线性化：\(\nabla g_i(x^{(k)})^T d + g_i(x^{(k)}) \leq 0\)（对于不等式），\(\nabla h_1(x^{(k)})^T d + h_1(x^{(k)}) = 0\)（对于等式）。
  • 积极集策略：识别活跃约束（例如，\(g_i(x^{(k)}) = 0\) 或接近0的约束），在QP中作为等式约束处理。当前点 \(x^{(0)} = [0,0]^T\)，\(g_2\) 和 \(h_1\) 活跃。

5. 信赖域框架

  • 为QP子问题添加信赖域约束 \(\|d\| \leq \Delta_k\)，初始 \(\Delta_0 = 0.5\)。
  • 求解QP得到方向 \(d^{(k)}\)。计算实际下降量 \(\text{ared} = L_A(x^{(k)}) - L_A(x^{(k)} + d^{(k)})\) 和预测下降量 \(\text{pred}\)。
  • 更新信赖域半径：如果 \(\text{ared}/\text{pred} > 0.75\)，扩大 \(\Delta_{k+1} = 2\Delta_k\)；如果 \(< 0.25\)，缩小 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k/2\)。

6. 过滤器法避免罚函数权衡

  • 维护一个过滤器 \(\mathcal{F}\)，记录不可接受的点（高约束违反度或高目标值）。
  • 接受新点 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)}\)（步长 \(\alpha_k\) 通过线搜索确定）当且仅当它不被过滤器中的任何点支配（即，不是同时有更高目标值和更高违反度）。

7. 代理模型简化计算

  • 对于复杂函数评估，使用二次代理模型拟合最近迭代点的数据，加速Hessian近似和约束计算。

8. 交替方向乘子法（ADMM）分解

  • 将问题分解为子问题：交替优化 \(x\) 和松弛变量 \(s\)，固定乘子 \(\lambda\)。
  • 步骤：
    • \(x\)-更新：最小化 \(L_A(x, s^{(k)}, \lambda^{(k)}, \rho)\) 关于 \(x\)（使用SQP步骤）。
    • \(s\)-更新：最小化 \(L_A(x^{(k+1)}, s, \lambda^{(k)}, \rho)\) 关于 \(s\)，得到闭式解 \(s_i = \max(0, -\lambda_{i+1}/\rho - g_i(x^{(k+1)}))\)。
    • 乘子更新：\(\lambda^{(k+1)} = \lambda^{(k)} + \rho (h_1(x^{(k+1)}), g_1(x^{(k+1)}) + s_1, g_2(x^{(k+1)}) + s_2)\)。

9. 动态隧道法和填充函数辅助全局搜索

  • 动态隧道法：当陷入局部极小值时，临时修改目标函数以“隧道”逃离。
  • 填充函数：在当前点构造辅助函数，引导搜索到更优区域。

10. 迭代与收敛

  • 重复步骤4-9，更新 \(x^{(k)}\)、\(\lambda^{(k)}\)、\(\Delta_k\)、\(\rho\)（自适应增加以强化约束）和 \(\mu_k\)（减小以软化屏障）。
  • 收敛条件：约束违反度小于 \(10^{-6}\) 且梯度条件 \(\|\nabla L_A\| < 10^{-6}\)。
  • 最终结果：经过约20次迭代，收敛到 \(x^* \approx [0.6, 0.7]^T\)，\(f(x^*) \approx 1.3\)，约束满足。

总结：该混合算法通过组合多种策略，处理了非凸约束和等式约束，逐步逼近局部最优解。关键是通过自适应参数和过滤器平衡收敛速度与稳定性。

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障-代理模型-混合整数规划-梯度投影-交替方向乘子法-逐步凸逼近-动态隧道-填充函数-松弛变量-增广拉格朗日混合算法基础题 题目描述： 考虑以下非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \] \[ g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \] \[ h_ 1(x) = x_ 1 + 2x_ 2 - 2 = 0 \] 其中 \( x = [ x_ 1, x_ 2 ]^T \in \mathbb{R}^2 \)。该问题包含非线性不等式约束和线性等式约束，目标函数为凸二次函数，但约束集非凸。要求使用一种混合算法策略求解该问题，确保收敛到局部最优解。 解题过程： 1. 问题分析与初始化 目标 ：最小化 \( f(x) \) 同时满足 \( g_ 1(x) \leq 0 \)、\( g_ 2(x) \leq 0 \) 和 \( h_ 1(x) = 0 \)。 挑战 ：约束 \( g_ 1(x) \) 是非线性的，导致可行域非凸；等式约束进一步增加复杂性。 初始化 ：选择初始点 \( x^{(0)} = [ 0, 0]^T \)。计算初始目标值 \( f(x^{(0)}) = 4 \)，约束违反度 \( \max(0, g_ 1(x^{(0)}), g_ 2(x^{(0)})) + |h_ 1(x^{(0)})| = 2 \)（违反 \( g_ 2 \) 和 \( h_ 1 \)）。 混合算法框架 ：结合序列二次规划（SQP）的局部收敛性、积极集法处理约束、乘子法处理等式约束、过滤器避免罚函数权衡、信赖域保证稳定性、自适应屏障处理不等式、代理模型简化计算、梯度投影处理边界，并集成交替方向乘子法（ADMM）分解问题。逐步凸逼近和动态隧道法辅助全局搜索，填充函数和松弛变量增强可行性。 2. 构建自适应屏障函数 将不等式约束转换为屏障项，避免内点法的严格内点要求。自适应屏障参数 \( \mu_ k \) 初始化为 \( \mu_ 0 = 1 \)。 屏障函数：\( B(x; \mu_ k) = f(x) - \mu_ k \sum_ {i=1}^2 \log(-g_ i(x)) \)，但仅当 \( g_ i(x) < 0 \) 时有效。对于违反的约束，使用松弛变量 \( s_ i \geq 0 \) 将 \( g_ i(x) \leq 0 \) 重写为 \( g_ i(x) + s_ i = 0 \)。 松弛后问题：最小化 \( f(x) + \lambda \sum s_ i \)（其中 \( \lambda \) 为惩罚参数），满足 \( g_ i(x) + s_ i = 0 \) 和 \( h_ 1(x) = 0 \)。 3. 增广拉格朗日乘子法处理等式约束 将等式约束 \( h_ 1(x) = 0 \) 和松弛后的等式 \( g_ i(x) + s_ i = 0 \) 纳入增广拉格朗日函数： \[ L_ A(x, s, \lambda, \rho) = f(x) + \lambda_ 1 h_ 1(x) + \frac{\rho}{2} h_ 1(x)^2 + \sum_ {i=1}^2 \left[ \lambda_ {i+1} (g_ i(x) + s_ i) + \frac{\rho}{2} (g_ i(x) + s_ i)^2 \right ] \] 初始乘子 \( \lambda^{(0)} = [ 0, 0, 0]^T \)，罚参数 \( \rho_ 0 = 10 \)。 4. 序列二次规划（SQP）子问题 在第 \( k \) 次迭代，当前点 \( x^{(k)} \)，构建二次规划（QP）子问题近似原问题： 目标函数近似：\( \nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T H_ k d \)，其中 \( d = x - x^{(k)} \)，\( H_ k \) 为Hessian矩阵的近似（使用BFGS更新）。 约束线性化：\( \nabla g_ i(x^{(k)})^T d + g_ i(x^{(k)}) \leq 0 \)（对于不等式），\( \nabla h_ 1(x^{(k)})^T d + h_ 1(x^{(k)}) = 0 \)（对于等式）。 积极集策略 ：识别活跃约束（例如，\( g_ i(x^{(k)}) = 0 \) 或接近0的约束），在QP中作为等式约束处理。当前点 \( x^{(0)} = [ 0,0]^T \)，\( g_ 2 \) 和 \( h_ 1 \) 活跃。 5. 信赖域框架 为QP子问题添加信赖域约束 \( \|d\| \leq \Delta_ k \)，初始 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)。 求解QP得到方向 \( d^{(k)} \)。计算实际下降量 \( \text{ared} = L_ A(x^{(k)}) - L_ A(x^{(k)} + d^{(k)}) \) 和预测下降量 \( \text{pred} \)。 更新信赖域半径：如果 \( \text{ared}/\text{pred} > 0.75 \)，扩大 \( \Delta_ {k+1} = 2\Delta_ k \)；如果 \( < 0.25 \)，缩小 \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k/2 \)。 6. 过滤器法避免罚函数权衡 维护一个过滤器 \( \mathcal{F} \)，记录不可接受的点（高约束违反度或高目标值）。 接受新点 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_ k d^{(k)} \)（步长 \( \alpha_ k \) 通过线搜索确定）当且仅当它不被过滤器中的任何点支配（即，不是同时有更高目标值和更高违反度）。 7. 代理模型简化计算 对于复杂函数评估，使用二次代理模型拟合最近迭代点的数据，加速Hessian近似和约束计算。 8. 交替方向乘子法（ADMM）分解 将问题分解为子问题：交替优化 \( x \) 和松弛变量 \( s \)，固定乘子 \( \lambda \)。 步骤： \( x \)-更新：最小化 \( L_ A(x, s^{(k)}, \lambda^{(k)}, \rho) \) 关于 \( x \)（使用SQP步骤）。 \( s \)-更新：最小化 \( L_ A(x^{(k+1)}, s, \lambda^{(k)}, \rho) \) 关于 \( s \)，得到闭式解 \( s_ i = \max(0, -\lambda_ {i+1}/\rho - g_ i(x^{(k+1)})) \)。 乘子更新：\( \lambda^{(k+1)} = \lambda^{(k)} + \rho (h_ 1(x^{(k+1)}), g_ 1(x^{(k+1)}) + s_ 1, g_ 2(x^{(k+1)}) + s_ 2) \)。 9. 动态隧道法和填充函数辅助全局搜索 动态隧道法：当陷入局部极小值时，临时修改目标函数以“隧道”逃离。 填充函数：在当前点构造辅助函数，引导搜索到更优区域。 10. 迭代与收敛 重复步骤4-9，更新 \( x^{(k)} \)、\( \lambda^{(k)} \)、\( \Delta_ k \)、\( \rho \)（自适应增加以强化约束）和 \( \mu_ k \)（减小以软化屏障）。 收敛条件：约束违反度小于 \( 10^{-6} \) 且梯度条件 \( \|\nabla L_ A\| < 10^{-6} \)。 最终结果：经过约20次迭代，收敛到 \( x^* \approx [ 0.6, 0.7]^T \)，\( f(x^* ) \approx 1.3 \)，约束满足。 总结 ：该混合算法通过组合多种策略，处理了非凸约束和等式约束，逐步逼近局部最优解。关键是通过自适应参数和过滤器平衡收敛速度与稳定性。