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xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）

**xxx 最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）** **问题描述** 给定一个带权有向图G=(V,E)，其中每条边e∈E有一个容量c(e)≥0和一个费用w(e)∈R。图中有一个源点s和一个汇点t。最小费用最大流问题要求从s到t输送尽可能多的流，同时使总费用最小。 **解题过程** **1. 问题分析** - 我们需要同时优化两个目标：流量最大化和费用最小化 - 这可以看作是在最大流的基础上寻找费用最小的方案 - 算法

2025-11-12 15:52:24

xxx 最小生成树的 Reverse-Delete 算法

**xxx 最小生成树的 Reverse-Delete 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。要求通过删除边的方式，逐步构造一棵最小生成树（MST），使得生成树的边权重之和最小。 **解题过程** 1. **问题理解** - 目标是从原图中删去部分边，保留 \( |V|-1 \) 条边构成生成树，且总权重最小。 - 与 Kruskal 或 Prim 算法的

2025-11-12 07:46:57

最大流问题（Capacity Scaling 优化）

**最大流问题（Capacity Scaling 优化）** 题目描述：给定一个有向图，其中每条边有一个容量（非负整数），以及一个源点和一个汇点，求从源点到汇点的最大流。Capacity Scaling 是一种优化方法，通过逐步考虑边容量的最高位到最低位，在残量图中寻找增广路径，以提高算法效率。解题步骤： 1. 理解基本概念 - 流网络：有向图 G=(V,E)，每条边 (u,v) 有容量 c(u,v)≥0 - 流函数 f: V×V→R 满足： * 容量约束：0≤f(

2025-11-12 02:22:03

xxx 最小公共祖先（LCA）问题的欧拉序列与RMQ解法

**xxx 最小公共祖先（LCA）问题的欧拉序列与RMQ解法** **题目描述** 给定一棵有根树和若干查询，每个查询要求两个结点的最近公共祖先（LCA）。要求通过预处理，使得每次查询能在常数时间内完成。已知树的结点数为 \(n\)，查询数为 \(q\)，需设计高效算法。 --- **解题过程** **1. 问题分析** - LCA 问题常见应用包括树结构中的路径查询、网络路由等。 - 暴力法（直接向上跳转）每次查询耗时 \(O(h)\)（\(h\) 为树高），最坏情况（

2025-11-12 01:34:47

xxx 强连通分量（Tarjan算法）

**xxx 强连通分量（Tarjan算法）** **题目描述** 给定一个有向图，找出其所有的强连通分量。强连通分量是有向图的一个极大子图，其中任意两个顶点都互相可达。 **解题过程** Tarjan算法通过一次深度优先搜索（DFS）即可找出所有强连通分量，核心在于维护每个顶点的搜索顺序（索引）和能回溯到的最早祖先索引。 1. **初始化** - 为每个顶点分配唯一索引（`index`），记录访问顺序。 - 维护一个栈（`stack`）存储当前DFS路径中的顶点。

2025-11-11 09:17:51

寻找有向图中的欧拉回路（Hierholzer算法）

**寻找有向图中的欧拉回路（Hierholzer算法）** **题目描述** 给定一个有向图，判断其是否存在欧拉回路，若存在则找出该回路。欧拉回路要求经过图中每条边恰好一次，并最终回到起点。有向图存在欧拉回路的充要条件是：图是强连通的（除孤立点外），且每个顶点的入度等于出度。 --- **解题步骤** 1. **条件检查** - 遍历所有顶点，检查每个顶点的入度是否等于出度。若存在任一顶点不满足，则无欧拉回路。 - 检查图的基图（忽略边方向后的无向图）是否连通

2025-11-11 06:54:58

xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete算法）

**xxx 最小生成树问题（Reverse-Delete算法）** **题目描述** 最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图论中的经典问题：给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，每条边有一个权重，要求找到一个边的子集，使得这些边构成一棵树（连通且无环），并且总权重最小。Reverse-Delete算法是求解MST的一种方法，其核心思想是**按权重从大到小的顺序删除边，但仅当删除后不破坏图的连通性时才执行删除**，最终剩下的边构成最小生成树。

2025-11-11 04:57:14

xxx 最小费用最大流问题（Primal-Dual 算法）

**xxx 最小费用最大流问题（Primal-Dual 算法）** **题目描述** 给定一个带权有向图，其中每条边有两个属性：容量（capacity）和单位流量费用（cost）。同时指定源点（source）和汇点（sink）。目标是在满足容量约束的前提下，从源点向汇点输送尽可能多的流量，并使得总费用（流量 × 单位费用之和）最小。 **解题过程** 1. **问题建模** 最小费用最大流问题可视为最大流问题的扩展，需在最大流的基础上优化费用。核心思想是通过反复寻找当前残量

2025-11-10 22:12:08

最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法

**最小公共祖先（LCA）问题的倍增算法** **题目描述** 最小公共祖先（Lowest Common Ancestor, LCA）问题要求找出有根树中两个节点的最近公共祖先节点。例如，在树结构中，节点 \(u\) 和 \(v\) 的公共祖先中深度最大的节点即为它们的 LCA。该问题在树上的路径查询、网络路由优化等领域有广泛应用。倍增算法通过预处理树结构，支持每次查询在 \(O(\log n)\) 时间内完成，适用于多次查询的场景。 --- **解题过程** ### 1. 问题

2025-11-10 20:56:39

最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比）

**最大流问题（Ford-Fulkerson 方法中的 DFS 实现与 Edmonds-Karp 算法对比）** **题目描述** 最大流问题是图论中的经典问题，旨在从源点 \( s \) 到汇点 \( t \) 的网络中找到能通过边的容量限制的最大流量。Ford-Fulkerson 方法是一种通用框架，通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法继续。其核心实现方式包括： 1. **DFS 实现**：使用深度优先搜索（DFS）寻找增广路径。 2. **Edmonds-Karp 算法**：使用

2025-11-10 18:41:44

图论中的最小路径覆盖问题（二分图匹配应用）

**图论中的最小路径覆盖问题（二分图匹配应用）** **问题描述** 最小路径覆盖问题是指：给定一个有向无环图（DAG），要求用最少数量的不相交路径（即路径之间没有公共顶点）覆盖图中所有顶点。这里的"覆盖"意味着每个顶点恰好出现在一条路径中。 **关键思路** 这个问题的巧妙之处在于将其转化为二分图最大匹配问题： 1. 将原DAG的每个顶点v拆分成两个顶点：左部顶点vₗ（代表作为路径起点）和右部顶点vᵣ（代表作为路径终点） 2. 对于原图中的每条有向边(u→v)，在二分图中添加从左部uₗ到右

2025-11-10 09:26:12

xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）

**xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）** **题目描述** 在无向图中，双连通分量（Biconnected Component）是指一个极大的子图，其中任意两个顶点之间至少存在两条顶点不相交的路径（即没有割点）。双连通分量是图论中重要的概念，用于分析网络的鲁棒性。本题要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。 --- **解题过程** **1. 基本概念** - **割点（Articulation Point）**：删除该顶

2025-11-10 06:10:12

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