xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）
字数 1167 2025-11-10 06:10:12

xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components）

题目描述
在无向图中，双连通分量（Biconnected Component）是指一个极大的子图，其中任意两个顶点之间至少存在两条顶点不相交的路径（即没有割点）。双连通分量是图论中重要的概念，用于分析网络的鲁棒性。本题要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。

解题过程

1. 基本概念

  • 割点（Articulation Point）：删除该顶点后，图的连通分量数增加。
  • 桥（Bridge）：删除该边后，图的连通分量数增加。
  • 双连通分量：分为两种：
    • 边双连通分量：不含桥的极大子图。
    • 点双连通分量：不含割点的极大子图（本题通常指点双连通分量）。

2. 核心思路
使用基于DFS的Tarjan算法，通过维护两个关键值：

  • disc[u]：顶点u的发现时间（DFS访问顺序）。
  • low[u]：从u出发通过DFS树边和后向边能访问到的最早祖先的disc值。

3. 算法步骤
步骤1：初始化

  • 全局变量：time = 0（时间戳），disc[]和low[]初始化为-1。
  • 栈：用于存储DFS遍历的边。

步骤2：DFS遍历
从任意未访问顶点u开始DFS：

  1. 设置disc[u] = low[u] = ++time。
  2. 遍历邻居v：
    • 若v未访问：
      • 将边(u, v)入栈。
      • 递归访问v，更新low[u] = min(low[u], low[v])。
      • 回溯时，若low[v] >= disc[u]，则u是割点，此时从栈中弹出边直到(u, v)，这些边构成一个点双连通分量。
    • 若v已访问且v不是父节点（避免重复处理）：
      • 若v的发现时间更早，更新low[u] = min(low[u], disc[v])。
      • 若v的发现时间早于u，说明(u, v)是后向边，将该边入栈（需判断避免重复）。

步骤3：处理根节点

  • 若u是DFS树的根，需特殊判断：根是割点当且仅当它有至少两个子节点。

4. 示例演示
考虑无向图：

顶点：0-1-2  
边： (0,1), (1,2), (2,0)  // 形成一个三角形

DFS从顶点0开始：

  • 访问0→1→2，回溯时发现2能通过后向边(2,0)回到0（low[2] = disc[0] = 1）。
  • 回溯到1时，low[2] = 1不满足low[2] >= disc[1]，因此1不是割点。
  • 最终整个图是一个点双连通分量。

5. 关键点

  • 点双连通分量之间通过割点连接。
  • 每个边可能属于多个点双连通分量（如割点连接的边），但通常算法输出的是边集。

6. 复杂度分析

  • 时间复杂度：O(V+E)（DFS遍历）。
  • 空间复杂度：O(V)（栈和数组）。

通过以上步骤，可系统地找出无向图的所有点双连通分量，进而分析图的结构稳定性。

xxx 无向图的双连通分量（Biconnected Components） 题目描述 在无向图中，双连通分量（Biconnected Component）是指一个极大的子图，其中任意两个顶点之间至少存在两条顶点不相交的路径（即没有割点）。双连通分量是图论中重要的概念，用于分析网络的鲁棒性。本题要求：给定一个无向图，找出其所有双连通分量。 解题过程 1. 基本概念 割点（Articulation Point） ：删除该顶点后，图的连通分量数增加。 桥（Bridge） ：删除该边后，图的连通分量数增加。 双连通分量 ：分为两种： 边双连通分量 ：不含桥的极大子图。 点双连通分量 ：不含割点的极大子图（本题通常指点双连通分量）。 2. 核心思路 使用基于DFS的Tarjan算法，通过维护两个关键值： disc[u] ：顶点 u 的发现时间（DFS访问顺序）。 low[u] ：从 u 出发通过DFS树边和后向边能访问到的最早祖先的 disc 值。 3. 算法步骤 步骤1：初始化 全局变量： time = 0 （时间戳）， disc[] 和 low[] 初始化为-1。 栈：用于存储DFS遍历的边。 步骤2：DFS遍历 从任意未访问顶点 u 开始DFS： 设置 disc[u] = low[u] = ++time 。 遍历邻居 v ： 若 v 未访问： 将边 (u, v) 入栈。 递归访问 v ，更新 low[u] = min(low[u], low[v]) 。 回溯时，若 low[v] >= disc[u] ，则 u 是割点，此时从栈中弹出边直到 (u, v) ，这些边构成一个点双连通分量。 若 v 已访问且 v 不是父节点（避免重复处理）： 若 v 的发现时间更早，更新 low[u] = min(low[u], disc[v]) 。 若 v 的发现时间早于 u ，说明 (u, v) 是后向边，将该边入栈（需判断避免重复）。 步骤3：处理根节点 若 u 是DFS树的根，需特殊判断：根是割点当且仅当它有至少两个子节点。 4. 示例演示 考虑无向图： DFS从顶点0开始： 访问0→1→2，回溯时发现2能通过后向边(2,0)回到0（ low[2] = disc[0] = 1 ）。 回溯到1时， low[2] = 1 不满足 low[2] >= disc[1] ，因此1不是割点。 最终整个图是一个点双连通分量。 5. 关键点 点双连通分量之间通过割点连接。 每个边可能属于多个点双连通分量（如割点连接的边），但通常算法输出的是边集。 6. 复杂度分析 时间复杂度：O(V+E)（DFS遍历）。 空间复杂度：O(V)（栈和数组）。 通过以上步骤，可系统地找出无向图的所有点双连通分量，进而分析图的结构稳定性。