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最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）

**最小费用最大流问题（Successive Shortest Path with Potentials 算法）** 我将为您详细讲解最小费用最大流问题中的Successive Shortest Path with Potentials算法，这是一个结合了最短路径和势能函数的经典算法。 ### 问题描述最小费用最大流问题是在网络流问题的基础上，不仅要找到从源点s到汇点t的最大流量，还要在所有可能的最大流中，找到总费用最小的那个流。 **输入**： - 有向图G=(V,E) - 每条边e

2025-11-13 11:03:31

Johnson 算法求稀疏图中所有顶点对最短路径

**Johnson 算法求稀疏图中所有顶点对最短路径** 题目描述： Johnson 算法是一种用于求解稀疏图中所有顶点对最短路径的高效算法。它结合了 Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法的优势，特别适用于边数相对较少的稀疏图。该算法通过重赋权技术消除负权边，使得可以在修改后的图上安全地使用 Dijkstra 算法，从而获得所有顶点对之间的最短路径。解题过程： 1. 问题分析 - 在稀疏图中，直接对每个顶点运行 Dijkstra 算法（使用二叉堆）的时间复杂度为

2025-11-13 06:34:00

xxx 最小生成树的 Borůvka 算法

**xxx 最小生成树的 Borůvka 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \) 有一个权重 \( w(e) \)，要求找到图的最小生成树（MST），即一个包含所有顶点的树形子图，使得所有边的权重总和最小。Borůvka 算法通过多轮迭代逐步合并连通分量来构建最小生成树，特别适合并行计算或边数较多的稀疏图。 **解题过程** 1. **初始化** - 每个顶点初始化为一个独立的连通分量。 -

2025-11-13 05:40:55

旅行商问题（动态规划解法）

**旅行商问题（动态规划解法）** **题目描述**：给定一系列城市和每对城市之间的距离，旅行商问题要求找到一条最短的可能路径，使得旅行商访问每个城市恰好一次，并最终返回起点城市。这是一个经典的NP-hard问题，在组合优化和图论中具有重要地位。 **解题过程**： **1. 问题建模** - 将城市表示为带权完全图G=(V,E)的顶点，其中|V|=n - 边权重d(i,j)表示城市i到城市j的距离 - 目标是找到访问所有顶点恰好一次的最短哈密顿回路 **2. 动态规划状态设计** 定

2025-11-13 05:30:33

xxx 最小生成树的 Reverse-Delete 算法

**xxx 最小生成树的 Reverse-Delete 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \) 和边权函数 \( w: E \to \mathbb{R} \)，要求找到一棵最小生成树（MST）。Reverse-Delete 算法通过按边权降序迭代删除边，并保证删除后图仍连通，最终得到 MST。请详细讲解该算法的步骤、正确性证明及复杂度分析。 --- **解题过程** ### 1. 算法核心思想 Reverse-Delete 是 Kruskal

2025-11-13 03:24:52

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法）

**xxx 最大流问题（Goldberg-Rao算法）** **题目描述** 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个非负容量 \( c(e) \geq 0 \)，以及源点 \( s \) 和汇点 \( t \)，求从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。Goldberg-Rao算法是一种高效的最大流算法，适用于大规模图，其时间复杂度为 \( O(|V|^{2/3} |E| \log(|V|^2 / |E|) \log U)

2025-11-13 02:58:34

xxx 最小生成树的 Kruskal 算法

**xxx 最小生成树的 Kruskal 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 具有权重 \( w(e) \)，要求找到总权重最小的生成树（即最小生成树，MST）。Kruskal 算法通过贪心策略，按边权重升序逐步选择边，并避免形成环，最终构造出最小生成树。 --- **解题过程** **步骤 1：算法核心思想** Kruskal 算法的核心是贪心选择： 1. 将所有边按权重从小到大排序。

2025-11-13 00:04:28

A*搜索算法（A-Star Search Algorithm）

**A*搜索算法（A-Star Search Algorithm）** **题目描述** A*搜索算法是一种在图中寻找从起点到目标点的最短路径的启发式搜索算法。它结合了Dijkstra算法的完备性和贪婪最佳优先搜索的效率，通过评估函数 f(n) = g(n) + h(n) 指导搜索方向，其中 g(n) 是从起点到节点 n 的实际代价，h(n) 是从节点 n 到目标点的估计代价（启发函数）。算法要求启发函数 h(n) 是可采纳的（即不高估实际代价）以确保找到最优路径。该算法广泛应用于路径规划

2025-11-12 23:22:17

Johnson 算法求稀疏图中所有顶点对最短路径

**Johnson 算法求稀疏图中所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个可能包含负权边但不含负权环的稀疏有向图，要求计算图中所有顶点对之间的最短路径距离。稀疏图意味着边的数量相对较少（通常与顶点数量近似），因此我们需要一个能高效处理这种情况的算法。 **解题过程** Johnson 算法结合了 Bellman-Ford 和 Dijkstra 算法的优势，通过重赋权技术消除负权边，从而允许在所有顶点上运行 Dijkstra 算法。以下是详细步骤： 1. **添加虚拟顶点并

2025-11-12 20:54:10

xxx 哈密顿回路问题（回溯算法）

**xxx 哈密顿回路问题（回溯算法）** **题目描述**：给定一个无向图G=(V,E)，判断图中是否存在一条哈密顿回路。哈密顿回路是指经过图中每个顶点恰好一次，并最终回到起点的环路。如果存在，请找出一条这样的回路。 **解题过程**： **1. 问题理解** 哈密顿回路问题是一个NP完全问题，意味着没有已知的多项式时间解法。回溯算法通过系统性地探索所有可能的路径来寻找解。 **2. 算法框架** 我们使用递归回溯法，逐步构建路径，并在每一步检查当前部分解是否可能扩展为完整解。 *

2025-11-12 20:01:09

xxx 最小生成树的 Jarník-Prim 算法

**xxx 最小生成树的 Jarník-Prim 算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个权重 \( w(e) \)。要求构造一棵生成树，使得树上所有边的权重之和最小。这类问题称为最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）问题。Jarník-Prim 算法（常称为 Prim 算法）通过贪心策略逐步扩展生成树，从任意一个顶点开始，每次选择连接当前生成树与剩余顶点集合的最小权重边，直

2025-11-12 19:08:29

Johnson 算法求稀疏图中所有顶点对最短路径

**Johnson 算法求稀疏图中所有顶点对最短路径** **题目描述** 给定一个可能包含负权边但不包含负权环的稀疏有向图，要求计算图中所有顶点对之间的最短路径距离。稀疏图是指边数 |E| 远小于顶点数 |V| 的平方（即 |E| << |V|²）的图。Johnson 算法结合了 Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法，能够高效处理稀疏图中的所有顶点对最短路径问题，即使图中存在负权边。 **解题过程** **步骤1：理解问题核心与挑战** - 在稀疏图中，Floyd-W

2025-11-12 17:33:21

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