旅行商问题（动态规划解法）

题目描述：
给定一系列城市和每对城市之间的距离，旅行商问题要求找到一条最短的可能路径，使得旅行商访问每个城市恰好一次，并最终返回起点城市。这是一个经典的NP-hard问题，在组合优化和图论中具有重要地位。

解题过程：

1. 问题建模

• 将城市表示为带权完全图G=(V,E)的顶点，其中|V|=n
• 边权重d(i,j)表示城市i到城市j的距离
• 目标是找到访问所有顶点恰好一次的最短哈密顿回路

2. 动态规划状态设计
定义状态dp[mask][i]：

• mask：二进制位掩码，表示已访问的城市集合（1表示已访问，0表示未访问）
• i：当前所在的城市编号
• dp[mask][i]：从城市0出发，经过mask表示的城市集合，最后到达城市i的最短路径长度

3. 状态转移方程
对于每个状态dp[mask][i]，考虑所有可能的前一个城市j：
dp[mask][i] = min{ dp[mask⊕(1<<i)][j] + d(j,i) }
其中：

• j ∈ mask且j ≠ i
• mask⊕(1<<i)表示从mask中移除城市i
• d(j,i)是城市j到城市i的距离

4. 初始化

• dp[1][0] = 0 （只访问了城市0，且当前在城市0，路径长度为0）
• 其他状态初始化为无穷大

5. 算法步骤
步骤1：预处理距离矩阵

• 创建n×n的矩阵dist，存储每对城市间的距离

步骤2：初始化DP表

• 创建大小为2^n × n的DP数组
• 设置dp[1][0] = 0，其他为∞

步骤3：状态转移

for mask从1到(1<<n)-1:
    for i从0到n-1:
        if mask的第i位为1:  # 城市i在已访问集合中
            for j从0到n-1:
                if mask的第j位为1且j ≠ i:
                    new_mask = mask XOR (1 << i)
                    dp[mask][i] = min(dp[mask][i], 
                                     dp[new_mask][j] + dist[j][i])

步骤4：计算最终结果

• 最终需要返回起点城市0
• 结果 = min{ dp[(1<<n)-1][i] + dist[i][0] }，对所有的i从1到n-1

6. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n² × 2^n)
• 空间复杂度：O(n × 2^n)
• 适用于n ≤ 20左右的中等规模问题

7. 实例演示
考虑4个城市的情况：
城市：0, 1, 2, 3
距离矩阵：

  0  10  15  20
 10   0  35  25
 15  35   0  30
 20  25  30   0

计算过程：

• 初始化：dp[0001][0] = 0
• 逐步计算包含更多城市的状态
• 最终：dp[1111][1] + dist[1][0] = 80
  dp[1111][2] + dist[2][0] = 95
  dp[1111][3] + dist[3][0] = 80
• 最优解：80（路径0→1→3→2→0）

这种方法通过动态规划避免了暴力枚举所有n!种排列，在中等规模问题上提供了可行的解决方案。