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双步隐式QR算法计算矩阵特征值

**双步隐式QR算法计算矩阵特征值** **题目描述**：给定一个n×n的实矩阵A，我们的目标是计算它的所有特征值。当矩阵规模较大时，直接求解特征方程是不现实的。双步隐式QR算法是一种高效的迭代方法，特别适用于上Hessenberg矩阵（一种特殊的矩阵形式，其下三角部分除了第一条次对角线外全为零）。该算法的核心思想是通过一系列相似变换，逐步将矩阵化简为更接近对角形的Schur形，从而近似特征值。与基本的显式QR算法相比，双步隐式QR算法通过巧妙的计算方式避免了直接进行QR分解，从而大大提升了

2025-10-26 18:02:10

线性动态规划：最长等差数列

**线性动态规划：最长等差数列** **题目描述** 给定一个整数数组 nums，返回数组中最长等差数列的子序列长度。等差数列是指数组中一个子序列（不要求连续），其中任意相邻两个元素的差相等。例如，对于数组 [3,6,9,12,15,18]，其本身就是一个等差数列，长度为6。对于数组 [9,4,7,2,10,8]，最长的等差数列是 [4,7,10] 和 [4,2,8]（差分别为3和-4），长度均为3。 **解题过程** 1. **问题分析** 我们需要找到一个最长的子序列（注意：

2025-10-26 17:56:46

非线性规划中的连续线性规划法基础题

**非线性规划中的连续线性规划法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 满足约束 \( x_1^2 - x_2 \geq 0 \)。初始点为 \( x^{(0)} = (0.0, 1.0) \)，使用连续线性规划法（Sequential Linear Programming, SLP）求解该问题，迭代两次（即计算 \( x^{(1)} \) 和 \( x^{(2)} \)）

2025-10-26 17:51:29

Lanczos算法求对称矩阵特征值

**Lanczos算法求对称矩阵特征值** **题目描述** Lanczos算法是一种用于求解大型对称矩阵特征值问题的迭代方法。给定一个n×n的实对称矩阵A，我们需要计算其部分或全部特征值和特征向量。该算法通过将A投影到Krylov子空间上，得到一个三对角矩阵，然后通过求解这个小型三对角矩阵的特征值问题来近似原矩阵的特征值。 **解题过程** **1. 算法基本原理** Lanczos算法的核心思想是：对于对称矩阵A，通过特定的正交化过程，将其转化为一个三对角矩阵T。这个三对角矩阵的特征值

2025-10-26 17:45:50

非线性规划中的序列线性规划法基础题

**非线性规划中的序列线性规划法基础题** 题目描述：考虑非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁² + x₂² - 8 ≤ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 使用序列线性规划法求解该问题，初始点选择x⁰ = (0, 1)，收敛容差ε = 0.001。解题过程： 1. 方法原理介绍序列线性规划法（SLP）通过一系列线性规划子问题来逼近原非线性规划问题。在每个迭代点，

2025-10-26 17:40:37

区间动态规划例题：奇怪的打印机

**区间动态规划例题：奇怪的打印机** **题目描述** 有一个奇怪的打印机，每次打印时可以选择打印一段连续的相同字符，但每次打印会覆盖原有位置的内容。给定一个字符串 `s`，打印机初始状态为空白（即所有位置为空白字符）。问至少需要多少次打印操作才能打印出目标字符串 `s`？ **示例** 输入：`s = "aaabbb"` 输出：`2` 解释：先打印 `"aaa"`，再打印 `"bbb"`。输入：`s = "aba"` 输出：`2` 解释：先打印 `"aaa"

2025-10-26 17:35:20

LeetCode 752. 打开转盘锁

**LeetCode 752. 打开转盘锁** **题目描述** 你有一个带有四个圆形拨轮的转盘锁，每个拨轮有 10 个数字：`'0'` 到 `'9'`。每个拨轮可以自由旋转：例如把 `'9'` 变为 `'0'`，或把 `'0'` 变为 `'9'`。每次旋转只能将一个拨轮旋转一个位置。锁的初始数字为 `"0000"`，一个代表四个拨轮数字的字符串。列表 `deadends` 包含了一组死亡数字，表示一旦拨轮数字和列表里的任何一个元素相同，锁将会被永久锁定，无法再被旋转。给

2025-10-26 17:29:56

区间分配问题（Interval Partitioning Problem）

**区间分配问题（Interval Partitioning Problem）** **题目描述** 区间分配问题是指给定一组区间（每个区间有开始时间和结束时间），目标是将所有区间分配到尽可能少的资源（例如会议室、机器等）上，使得分配到同一资源上的区间互不重叠。换句话说，就是找出最小的资源数，使得所有区间都能被安排而不发生冲突。 **解题过程** 1. **问题分析** - 输入：一组区间 `[start_i, end_i]`，其中 `start_i` 和 `end_i`

2025-10-26 17:24:36

列生成算法在人员排班问题中的应用示例

**列生成算法在人员排班问题中的应用示例** 题目描述：某医院需要为护士制定一周的排班计划。每天分为早、中、晚三个班次，每个班次对护士人数有不同需求。每位护士每周工作5天，连续工作天数不超过3天。目标是满足每天各班次需求的前提下，使总雇佣护士人数最少。这是一个大规模线性规划问题，直接求解困难，适合使用列生成算法。解题过程： 1. 问题建模 - 主问题（Restricted Master Problem, RMP）：最小化护士总数，约束是每天各班次需求得到满足 - 决策变量：λ_k 表示是

2025-10-26 17:19:17

LeetCode 126. 单词接龙 II

**LeetCode 126. 单词接龙 II** **题目描述** 给定一个起始单词 `beginWord`、一个结束单词 `endWord` 和一个单词列表 `wordList`。你需要找出所有从 `beginWord` 到 `endWord` 的最短转换序列。转换序列需要遵循以下规则： 1. 每次转换只能改变一个字母。 2. 转换过程中的每个中间单词都必须是 `wordList` 中的单词。注意： * 如果不存在这样的转换序列，返回一个空列表。 * 所有单词具有相同的长度

2025-10-26 17:14:07

区间合并（Merge Intervals）

**区间合并（Merge Intervals）** **题目描述** 给定一个区间集合 `intervals`，每个区间表示为 `[start, end]`。请合并所有重叠的区间，并返回一个不重叠的区间集合。示例：输入：`intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]` 输出：`[[1,6],[8,10],[15,18]]` 解释：区间 `[1,3]` 和 `[2,6]` 重叠，合并为 `[1,6]`。 --- **解题思路*

2025-10-26 17:08:39

哈希算法题目：缺失的第一个正数

**哈希算法题目：缺失的第一个正数** **题目描述** 给你一个未排序的整数数组 `nums`，请你找出其中没有出现的最小的正整数。要求：你的算法的时间复杂度应为 O(n)，并且只能使用常数级别的额外空间。 **示例 1** 输入：nums = [1,2,0] 输出：3 解释：数组中缺失的最小正整数是 3。 **示例 2** 输入：nums = [3,4,-1,1] 输出：2 解释：数组中缺失的最小正整数是 2。 **示例 3** 输入：nums = [7,8,9,11,12] 输出

2025-10-26 16:58:10

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