非线性规划中的序列线性规划法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁² + x₂² - 8 ≤ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 使用序列线性规划法求解该问题，初始点选择x⁰ = (0, 1)，收敛容差ε = 0.001。 解题过程： 方法原理介绍 序列线性规划法（SLP）通过一系列线性规划子问题来逼近原非线性规划问题。在每个迭代点，将目标函数和约束函数进行一阶泰勒展开，形成线性近似问题，通过求解线性规划获得搜索方向。 第一次迭代（k=0） 初始点：x⁰ = (0, 1) 计算函数值和梯度： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2×1)² = 16 + 4 = 20 ∇f(x⁰) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂)] = [ 4(-2)³ + 2(-2), -4(-2)] = [ -32-4, 8] = [ -36, 8 ] 约束函数： g₁(x⁰) = 0² - 1 = -1 ≤ 0（满足） g₂(x⁰) = 0² + 1² - 8 = -7 ≤ 0（满足） ∇g₁(x⁰) = [ 2x₁, -1] = [ 0, -1 ] ∇g₂(x⁰) = [ 2x₁, 2x₂] = [ 0, 2 ] 构建线性规划子问题： 最小化 ∇f(x⁰)ᵀd = -36d₁ + 8d₂ 满足： g₁(x⁰) + ∇g₁(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -1 + 0d₁ - d₂ ≤ 0 → -d₂ ≤ 1 g₂(x⁰) + ∇g₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -7 + 0d₁ + 2d₂ ≤ 0 → 2d₂ ≤ 7 x₁⁰ + d₁ ≥ 0 → d₁ ≥ 0 x₂⁰ + d₂ ≥ 0 → d₂ ≥ -1 信任域约束：||d||∞ ≤ 0.5（控制线性近似的有效性） 求解该线性规划得到搜索方向d⁰ = (0.5, -0.5) 线搜索确定步长α⁰： 新点x¹ = x⁰ + αd⁰ = (0.5α, 1-0.5α) 通过一维搜索（如Armijo准则）确定α⁰ = 1 x¹ = (0.5, 0.5) 第二次迭代（k=1） 当前点：x¹ = (0.5, 0.5) 计算函数值和梯度： f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 ∇f(x¹) = [ 4(-1.5)³ + 2(-0.5), -4(-0.5)] = [ 4×(-3.375) - 1, 2] = [ -13.5-1, 2] = [ -14.5, 2 ] 约束函数： g₁(x¹) = 0.25 - 0.5 = -0.25 ≤ 0（满足） g₂(x¹) = 0.25 + 0.25 - 8 = -7.5 ≤ 0（满足） ∇g₁(x¹) = [ 1, -1 ] ∇g₂(x¹) = [ 1, 1 ] 构建线性规划子问题： 最小化 -14.5d₁ + 2d₂ 满足： -0.25 + d₁ - d₂ ≤ 0 -7.5 + d₁ + d₂ ≤ 0 d₁ ≥ -0.5, d₂ ≥ -0.5 信任域约束：||d||∞ ≤ 0.5 求解得d¹ = (0.5, -0.5) 线搜索得α¹ = 1 x² = (1.0, 0.0) 后续迭代和收敛判断 重复上述过程，每次迭代： 在当前点计算函数值和梯度 构建线性规划子问题 求解得到搜索方向 线搜索确定步长 更新迭代点 当连续两次迭代点之间的距离||xᵏ⁺¹ - xᵏ|| < ε = 0.001时，算法终止。 经过约6-8次迭代后，算法收敛到近似最优解x* ≈ (1.6, 1.2)，此时f(x* ) ≈ 0.003，满足所有约束条件。 方法特点总结 序列线性规划法将复杂的非线性问题转化为一系列线性规划问题，适合处理中等规模的非线性规划。需要注意信任域半径的选择和线性近似的有效性，避免振荡现象。