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非线性规划中的松弛变量法基础题

**非线性规划中的松弛变量法基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \) 约束条件： \( g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0 \) \( g_2(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \) \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \) **解题过程** 1. **问题分析** 目标函数 \( f(x) \) 是凸二次函数，约束 \( g_1(x)

2025-10-26 21:33:52

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

**在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置** 题目描述：给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。要求算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。解题过程： 1. 问题分析由于数组是排序的，我们需要高效地找到目标值的起始和结束位置。O(log n) 的时间复杂度要求提示我们使用二分查找算法。但标准的二分查找只能找到一个位置，而我们需要找到两个边界位置。

2025-10-26 21:28:30

双步隐式QR算法计算矩阵特征值

**双步隐式QR算法计算矩阵特征值** **题目描述** 双步隐式QR算法是计算实矩阵全部特征值的高效数值方法，特别适用于上Hessenberg矩阵。它通过隐式地执行两次QR迭代，避免复数运算，直接处理实矩阵可能出现的复特征值情况，并利用上Hessenberg形式的稀疏性减少计算量。问题：给定一个实矩阵A，如何通过双步隐式QR算法计算其特征值？ **解题过程** 1. **预处理：约化为上Hessenberg形式** - 目标：将原矩阵A通过相似变换（如Householde

2025-10-26 21:17:54

最长公共子序列的变种：最短公共超序列

**最长公共子序列的变种：最短公共超序列** 题目描述：给定两个字符串str1和str2，要求找出一个最短的字符串，使得str1和str2都是这个字符串的子序列。返回这个最短公共超序列的长度。解题过程： 1. 问题分析： - 超序列需要包含str1和str2的所有字符，并保持它们在各自原字符串中的相对顺序 - 最短的情况是充分利用两个字符串的公共部分，让公共子序列只出现一次 2. 关键观察： - 最短公共超序列长度 = len(str1) + len(str2) -

2025-10-26 21:12:41

非线性规划中的Nelder-Mead单纯形法基础题

**非线性规划中的Nelder-Mead单纯形法基础题** 题目描述：考虑无约束非线性规划问题 min f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)²，其中 x = (x₁, x₂) ∈ R²。使用Nelder-Mead单纯形法求解该问题，初始单纯形由三个顶点构成：x⁰=(0,0), x¹=(1,0), x²=(0,1)。解题过程： 1. **算法原理介绍** Nelder-Mead法是一种直接搜索算法，通过构造n维空间中的单纯形（n+1个顶点）并迭代更新顶点位置来寻找最优解。基本

2025-10-26 21:07:34

奇怪的打印机 II

**奇怪的打印机 II** **题目描述** 有一台奇怪的打印机，每次操作可以打印一段连续的相同字符。打印时，新打印的字符会覆盖原来位置上已经存在的字符。给定一个字符串 `s`，表示目标字符串，问至少需要多少次操作才能打印出 `s`？例如： - 输入 `s = "aaabbb"`，输出为 `2`（先打印 `"aaa"`，再打印 `"bbb"`）。 - 输入 `s = "aba"`，输出为 `2`（先打印 `"aaa"`，再在中间位置打印 `'b'` 覆盖掉中间的 `'a'

2025-10-26 21:02:20

寻找旋转排序数组中的最小值 II

**寻找旋转排序数组中的最小值 II** **题目描述** 已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，但我们在某个未知的下标 k (0 <= k < n) 上进行了旋转，使得数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]。例如，数组 [0,1,4,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,4]。重要的是，数组中可能包含重复的元素。请你找出并返回数组中的最小元素。 **解

2025-10-26 20:57:01

LeetCode 980. 不同路径 III

**LeetCode 980. 不同路径 III** **题目描述** 在二维网格 `grid` 上，有 4 种类型的方格： * `1` 表示起点方格。且只有一个起点方格。 * `2` 表示终点方格。且只有一个终点方格。 * `0` 表示我们可以走过的空方格。 * `-1` 表示我们无法跨越的障碍方格。要求：返回在网格中从起点到终点的**不同路径**的数目，其中**每一条路径应该走过每一个空方格恰好一次**。 **示例 1：** 输入：grid = [[1,0,0,0]

2025-10-26 20:51:38

非线性规划中的随机梯度下降法基础题

**非线性规划中的随机梯度下降法基础题** **题目描述**：考虑一个简单的非线性规划问题：最小化函数 \( f(x)1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \)，其中 \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \)。使用随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）求解该问题，初始点设为 \( (0.0, 3.0) \)，并解释SGD在非线性规划中的应用。 **解题过程**：随机梯度下降法是一种优化算

2025-10-26 20:46:12

非线性规划中的序列二次约束规划法基础题

**非线性规划中的序列二次约束规划法基础题** **题目描述** 考虑一个非线性约束优化问题：最小化目标函数 \( f(x)1 = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \) 满足约束条件： \( g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0 \) \( g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0 \) 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。要求使用序列二次约束规划法（SQCP）求解该问题，并解释其逐步逼近过程

2025-10-26 20:40:52

列生成算法在背包问题中的应用示例

**列生成算法在背包问题中的应用示例** 题目描述：考虑一个多重背包问题的变种，假设有5种物品，每种物品的数量无限，但背包容量有限（总容量为10）。每种物品的重量和价值如下表所示。目标是选择物品放入背包，使得总价值最大，且总重量不超过背包容量。 | 物品类型 | 重量 | 价值 | |---------|------|------| | 1 | 2 | 5 | | 2 | 3 | 8 | | 3 | 4 | 10 | |

2025-10-26 20:30:14

复合辛普森公式的误差分析与步长选择

**复合辛普森公式的误差分析与步长选择** **题目描述** 给定一个数值积分问题：计算函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分 \( I = \int_a^b f(x) \, dx \)。使用复合辛普森公式进行近似计算时，需分析其截断误差的表达式，并推导在给定误差容限 \( \varepsilon \) 的情况下，如何选择最优的子区间数量 \( n \)（或步长 \( h = \frac{b-a}{n} \)），以确保实际误差不超过 \( \varepsilo

2025-10-26 20:24:54

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