双步隐式QR算法计算矩阵特征值

题目描述
双步隐式QR算法是计算实矩阵全部特征值的高效数值方法，特别适用于上Hessenberg矩阵。它通过隐式地执行两次QR迭代，避免复数运算，直接处理实矩阵可能出现的复特征值情况，并利用上Hessenberg形式的稀疏性减少计算量。问题：给定一个实矩阵A，如何通过双步隐式QR算法计算其特征值？

解题过程

1. 预处理：约化为上Hessenberg形式

   • 目标：将原矩阵A通过相似变换（如Householder变换）转化为上Hessenberg矩阵H（即当i > j+1时，h_{ij}=0）。
   • 原因：上Hessenberg形式在QR迭代中能保持结构，显著减少每步运算量（从O(n³)降至O(n²)）。
   • 步骤：
     • 对k=1,2,...,n-2列，设计Householder反射矩阵P_k，使A的第k列下方元素零化。
     • 计算相似变换：A ← P_k A P_k^T，逐步得到H。

2. 双步隐式QR迭代核心思想

   • 单步QR算法：H - μI = QR，然后H ← RQ + μI（μ为位移加速收敛）。
   • 双步改进：连续执行两次位移（如μ1, μ2为H的右下2x2块的特征值），但隐式处理：
     • 计算向量v = (H - μ1I)(H - μ2I)e1（e1为第一标准基向量）。
     • 构造Householder或Givens变换，从v导出变换矩阵，直接作用于H，实现等价于两次QR迭代的效果，同时避免显式分解。

3. 隐式变换步骤

   • 初始化：取H的右下2x2子矩阵，计算其特征值μ1, μ2（可能为共轭复数）。
   • 首列更新：计算向量v = (H - μ1I)(H - μ2I)e1（仅前三个分量非零）。
   • 构造Givens旋转矩阵G1：使G1v平行于e1，消去v的第二、三个分量。
   • 应用G1：H ← G1 H G1^T，这会破坏上Hessenberg形式，但仅在前三行/列引入非零元（"bulge"）。

4. 追迹消去Bulge

   • 目标：通过后续Givens旋转将Bulge向下驱逐，恢复上Hessenberg形式。
   • 对k=1至n-2：
     • 构造Givens旋转G_{k+1}，消去第k+2行、k列的非零元（Bulge元素）。
     • 应用相似变换：H ← G_{k+1} H G_{k+1}^T，使Bulge向右下移动。
   • 最终Bulge被驱逐出矩阵，H恢复上Hessenberg形式。

5. 收敛判断与特征值提取

   • 检查次对角线元素：若|h_{i+1,i}| < ε（容差），则h_{ii}为特征值。
   • 分裂矩阵：对收敛的1x1或2x2块（对应实根或共轭复根），直接计算特征值，并对剩余子矩阵递归迭代。
   • 重复步骤2-4直至所有特征值解出。

关键点

• 隐式处理避免复数运算，且每步复杂度O(n²)。
• 通过位移策略（如Wilkinson位移）加速收敛。
• 最终特征值从H的1x1或2x2对角块提取。