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分治法计算对称三对角矩阵特征值

**分治法计算对称三对角矩阵特征值** **题目描述** 给定一个 \(n \times n\) 的实对称三对角矩阵 \(T\)，要求计算其全部特征值。对称三对角矩阵的形式如下： \[ T = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & & & \\ b_1 & a_2 & b_2 & & \\ & b_2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ & & & b_{n-1} & a_n \end{

2025-10-27 02:30:56

非线性规划中的坐标轮换法基础题

**非线性规划中的坐标轮换法基础题** **题目描述** 考虑一个二维非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x_1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 3) \)，收敛容差 \( \epsilon = 0.001 \)。要求使用坐标轮换法求解该问题，并分析迭代过程。 **解题过程** 坐标轮换法（Coordinate Descent）通过轮流沿每个坐标方向进行一维搜索来逼近极小点。具

2025-10-27 02:25:41

深度学习中的梯度消失问题与LSTM的解决机制

**深度学习中的梯度消失问题与LSTM的解决机制** **题目描述** 梯度消失是训练深度神经网络时常见的挑战，尤其在循环神经网络（RNN）中更为显著。当网络层数较深或序列较长时，梯度在反向传播过程中可能指数级衰减，导致模型无法学习长期依赖关系。本题要求解释梯度消失的成因，并重点分析长短期记忆网络（LSTM）如何通过其门控机制解决该问题。 --- **解题过程** **1. 梯度消失问题的根源** - **反向传播的链式法则**：在RNN中，损失函数对早期隐藏状态的梯度需逐层

2025-10-27 02:20:27

Tarjan算法求有向图的强连通分量

**Tarjan算法求有向图的强连通分量** **题目描述** 给定一个有向图，要求找出图中所有的强连通分量（Strongly Connected Components, SCC）。强连通分量是指有向图中的一个最大子图，其中任意两个顶点都互相可达。例如，在下图中有三个强连通分量：{A, B, E}、{C, D} 和 {F}。 ``` A -> B -> F | ^ | v | v E -> D <- C ``` 注意：本题与 Kosaraju

2025-10-27 02:09:59

图论中的最短路径问题（Dijkstra算法）

**图论中的最短路径问题（Dijkstra算法）** **题目描述** 在一个**非负权有向图**中，给定一个起点 \( s \)，要求找出从 \( s \) 到图中所有其他顶点的最短路径长度。其中，路径长度定义为路径上所有边的权值之和。例如，下图包含顶点 A、B、C、D，边权均为非负数，求从 A 到其他顶点的最短距离。 **解题过程** 1. **核心思想** Dijkstra 算法采用**贪心策略**，逐步确定从起点到各顶点的最短距离。其核心是维护一个集合 \( S

2025-10-27 02:04:42

线性动态规划：最长公共子序列的变种——最短公共超序列

**线性动态规划：最长公共子序列的变种——最短公共超序列** **题目描述** 给定两个字符串 `str1` 和 `str2`，要求找出一个最短的字符串，使得 `str1` 和 `str2` 都是这个字符串的子序列。这样的字符串称为**最短公共超序列（Shortest Common Supersequence，SCS）**。例如： - 输入：`str1 = "abac"`, `str2 = "cab"` - 输出：最短公共超序列为 `"cabac"`（长度 5），因为 `"abac

2025-10-27 01:59:24

非线性规划中的共轭梯度法基础题

**非线性规划中的共轭梯度法基础题** **题目描述** 考虑无约束非线性规划问题： \[ \min f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_1 + 6x_2 \] 初始点取为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，使用共轭梯度法（Fletcher-Reeves公式）求解该问题的极小值点。 --- **解题过程** **1. 问题分析** 目标函数为二次函数，可写成矩阵形式： \[ f(x) = \frac{1}{

2025-10-27 01:53:54

区间动态规划例题：切棍子的最小成本问题

**区间动态规划例题：切棍子的最小成本问题** **题目描述** 你有一根长度为 `n` 的木棍，标记了从 `0` 到 `n` 的刻度。同时给定一个整数数组 `cuts`，表示需要在这根木棍上切割的位置（这些位置保证在 `(0, n)` 范围内）。每次切割的成本等于当前木棍的长度。要求按某种顺序切割所有指定位置，使得总成本最小。返回最小的总切割成本。 **示例** 输入：`n = 7`, `cuts = [1, 3, 4, 5]` 输出：`16` 解释：按顺序 `[1, 3,

2025-10-27 01:43:06

列生成算法在电信网络资源分配问题中的应用示例

**列生成算法在电信网络资源分配问题中的应用示例** **题目描述** 假设某电信运营商需要为多个用户请求分配网络带宽资源。每个用户请求有特定的带宽需求和服务等级协议（SLA），网络链路有容量限制。目标是最大化总收益（收益与用户请求的优先级和带宽相关）。问题可建模为线性规划，但用户请求组合可能极多（例如数万种），直接枚举所有变量求解不可行。需使用列生成算法动态生成有价值的用户请求分配方案。 --- **解题过程** **1. 问题建模** - 定义主问题（Master

2025-10-27 01:37:46

梯度下降算法的原理与实现

**梯度下降算法的原理与实现** **题目描述** 梯度下降是机器学习中用于优化模型参数的核心算法。假设我们有一个线性回归模型，其损失函数为均方误差（MSE）： \( J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \)，其中 \( h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x \) 是假设函数，\( \theta_0 \) 和 \( \theta_1 \)

2025-10-27 01:27:14

自适应辛普森积分法的并行化实现思路

**自适应辛普森积分法的并行化实现思路** **题目描述** 自适应辛普森积分法通过递归细分区间并估计误差来实现自动精度控制，但串行实现可能在高精度需求时效率不足。本题要求设计一种并行化策略，将积分区间动态分配给多个计算单元，加速积分过程，同时保持误差控制能力。 **解题过程** 1. **串行自适应辛普森法的回顾** - 核心步骤：对区间 \([a, b]\) 计算辛普森积分 \(S(a, b)\)，将其二等分为两个子区间，分别计算 \(S(a, m)\) 和 \(S(m

2025-10-27 01:21:54

LeetCode 847. 访问所有节点的最短路径

**LeetCode 847. 访问所有节点的最短路径** **题目描述** 存在一个由 n 个节点组成的无向连通图，节点编号从 0 到 n - 1。给定一个数组 graph 表示图的邻接表，其中 graph[i] 是一个列表，列出与节点 i 直接相连的所有节点。返回能够访问所有节点的最短路径的长度。路径可以从任意节点开始和结束，并且可以多次访问同一个节点或重复使用边。示例：输入：graph = [[1,2,3],[0],[0],[0]] 输出：4 解释：一种最短路径是

2025-10-27 01:16:43

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