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非线性规划中的移动渐近线方法(MMA)基础题

**非线性规划中的移动渐近线方法(MMA)基础题** **题目描述** 考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x)1 = x_1^2 + x_2^2 \) 约束条件： \( g_1(x) = x_1 + x_2 - 1 \leq 0 \) \( 0 \leq x_1 \leq 2 \)，\( 0 \leq x_2 \leq 2 \) 初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，使用移动渐近线方法（MMA）进行一次迭代，更新设计变量 \( x^{(1)

2025-10-27 09:46:05

线性规划的Benders分解算法求解示例

**线性规划的Benders分解算法求解示例** **题目描述** 考虑一个生产计划与运输的优化问题。某公司有两个工厂（F1、F2）生产产品，需供应三个客户（C1、C2、C3）。每个工厂有最大产能限制（F1: 80单位，F2: 70单位），每个客户有固定需求（C1: 40单位，C2: 60单位，C3: 50单位）。从工厂到客户的单位运输成本如下表（单位：元）： | | C1 | C2 | C3 | |-------|-----|-----|-----| | **F1**

2025-10-27 09:40:37

Krylov子空间方法在特征值计算中的应用

**Krylov子空间方法在特征值计算中的应用** **题目描述** 给定一个 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \) 和一个非零向量 \( \mathbf{b} \)，Krylov子空间方法可用于近似计算 \( A \) 的部分特征值和特征向量，尤其适用于大型稀疏矩阵。问题要求： 1. 构造由 \( A \) 和 \( \mathbf{b} \) 生成的Krylov子空间 \( \mathcal{K}_m(A, \mathbf{b}) \)； 2. 通过投影

2025-10-27 09:35:07

非线性规划中的逐步二次逼近法基础题

**非线性规划中的逐步二次逼近法基础题** **题目描述**：考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \] 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 3)^T \)，试用逐步二次逼近法（Sequential Quadratic Programming, SQP）进行一次迭代，并给出下一次迭代点 \( x^{(1)} \)。 --- **解题过程**： **1. 问题分析** 逐步二次逼近

2025-10-27 09:29:46

非线性规划中的响应面方法基础题

**非线性规划中的响应面方法基础题** **题目描述** 考虑一个非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 初始点为 \( x^{(0)} = [0.0, 3.0] \)，使用响应面方法（Response Surface Methodology, RSM）结合一阶模型和最速下降法进行迭代优化，要求经过两次迭代后估计解的改进情况。RSM 使用中心复合设计（CCD）在初始点附近生成采样点，拟合线性模型并沿负梯度方向搜索

2025-10-27 09:24:21

双共轭梯度法（BiCGSTAB）解非对称线性方程组

**双共轭梯度法（BiCGSTAB）解非对称线性方程组** **题目描述** 双共轭梯度法（BiCGSTAB）是求解大型稀疏非对称线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的迭代算法，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 的非对称矩阵。BiCGSTAB 在双共轭梯度法（BiCG）的基础上引入局部稳定化策略，通过多项式加速收敛，减少迭代过程中的震荡，比 BiCG 更高效稳定。该算法适用于工程计算中常见的非对称问题（如流体力学方程离散化）。

2025-10-27 09:18:52

基于线性规划的图最小割问题求解示例

**基于线性规划的图最小割问题求解示例** 我将为您讲解如何用线性规划方法求解图的最小割问题。这是一个经典的组合优化问题，在网络流理论和实际应用中都有重要意义。 **问题描述** 考虑一个带权有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(i,j)∈E有一个非负容量c_ij≥0。给定源点s和汇点t，最小割问题是找到一个将顶点集V划分成两个子集S和T的划分，其中s∈S，t∈T，使得从S到T的边的容量之和最小。 **线性规划建模** 我们可以将最小割问题建模为线性规划问题。对每个顶

2025-10-27 09:13:36

K-近邻（KNN）算法的原理与实现步骤

**K-近邻（KNN）算法的原理与实现步骤** **题目描述** K-近邻（K-Nearest Neighbors, KNN）是一种基于实例的监督学习算法，用于分类和回归任务。其核心思想是：给定一个测试样本，在训练集中找到与之最相似的K个样本（即"近邻"），然后根据这K个样本的标签来预测测试样本的标签（分类任务取多数票，回归任务取平均值）。本题要求理解KNN的工作原理、关键步骤（如距离度量、K值选择）以及实现细节。 **解题过程** 1. **算法基本原理** - **相

2025-10-27 09:08:23

基于Transformer的图像分类算法：Vision Transformer (ViT)

**基于Transformer的图像分类算法：Vision Transformer (ViT)** **题目描述** Vision Transformer (ViT) 是一种将自然语言处理领域成功的Transformer架构直接应用于图像分类任务的算法。与传统的卷积神经网络不同，ViT将输入图像分割成一系列图像块，将这些图像块视为类似于句子中的单词的序列，然后使用标准的Transformer编码器进行处理，最终完成图像分类。这个题目的核心是理解如何将不适合序列数据的视觉信息转化为Trans

2025-10-27 09:03:05

**凯撒密码** **题目描述** 凯撒密码是一种古老的替换加密算法，由罗马共和国时期的凯撒大帝使用。其核心思想是将明文中的每个字母按照字母表顺序**固定偏移**一定位数，生成密文。例如，当偏移量为3时，字母"A"会被替换为"D"，"B"替换为"E"，以此类推。若偏移时超出字母表范围（如"Z"偏移3位），则循环回到字母表开头（"Z"→"C"）。本题要求实现凯撒密码的加密和解密过程，并分析其安全性。 --- **解题过程** ### 1. 理解加密规则 - **字母表范围**：仅处

2025-10-27 08:57:48

二分图的最大匹配问题（匈牙利算法）

**二分图的最大匹配问题（匈牙利算法）** **题目描述** 给定一个二分图，其顶点集被划分为两个不相交的子集（通常称为“左部”和“右部”），且图中每条边连接一个左部顶点和一个右部顶点。求该二分图的**最大匹配**，即找到一个包含尽可能多边的子集，使得任意两条边没有公共顶点。例如，左部顶点集为 {A, B, C}，右部顶点集为 {1, 2, 3}，边集为 {(A,1), (A,2), (B,2), (B,3), (C,1)}。最大匹配可以是 {(A,1), (B,3), (C,

2025-10-27 08:52:30

Transformer模型中的自注意力机制（Self-Attention）原理与计算步骤

**Transformer模型中的自注意力机制（Self-Attention）原理与计算步骤** **题目描述**：在Transformer模型中，自注意力机制是其核心组件。它允许序列中的每个位置（例如，一个句子中的每个单词）在计算其新的表示时，能够同时关注到序列中的所有其他位置。请你详细解释自注意力机制的计算过程，包括如何生成查询（Query）、键（Key）和值（Value）向量，以及如何通过缩放点积运算得到最终的注意力权重和输出。 **解题过程**：自注意力机制的目标是为输入序列中

2025-10-27 08:47:17

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