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Ford-Fulkerson方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化

**Ford-Fulkerson方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化** **题目描述** 在最大流问题中，给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量，以及一个源点（s）和一个汇点（t），目标是找到从s到t的最大流量。Ford-Fulkerson方法是解决该问题的经典框架，它通过反复寻找增广路径来增加总流量。然而，在边容量差异较大或存在某些不利路径选择时，基础Ford-Fulkerson方法可能效率较低。容量缩放（Capacity Scaling）是Ford-Fulker

2025-10-28 22:13:57

xxx 关键路径算法（Critical Path Method）

**xxx 关键路径算法（Critical Path Method）** **题目描述** 在带权有向无环图（DAG）中，每条边代表一个任务，边权表示任务耗时。某些任务需在其他任务完成后才能开始。求从起点到终点的**最长路径**（即关键路径），并确定哪些任务延迟会导致整体项目延期。 **解题步骤** 1. **拓扑排序** - 对DAG进行拓扑排序，得到顶点线性序列，确保所有边从左向右指向。 *示例*：若任务A需在任务C之前完成，则序列中A必在C左侧。 2. *

2025-10-28 21:52:46

Ford-Fulkerson方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化

**Ford-Fulkerson方法中的容量缩放（Capacity Scaling）优化** **题目描述** 给定一个有向图，表示一个流网络。其中每条边有一个非负容量。流网络有一个源点s和一个汇点t。目标是找到从s到t的最大流。Ford-Fulkerson方法通过不断寻找增广路径来增加流，但基础版本可能效率较低，尤其是在选择增广路径不当时。容量缩放（Capacity Scaling）是Ford-Fulkerson方法的一种优化，通过优先考虑容量较大的边，减少增广次数，从而提高算法效率，特

2025-10-28 19:56:51

xxx 最小路径覆盖问题（二分图匹配应用）

**xxx 最小路径覆盖问题（二分图匹配应用）** **题目描述** 给定一个有向无环图（DAG），我们要求其最小路径覆盖。路径覆盖是指一个由简单路径组成的集合，使得图中的每个顶点恰好出现在一条路径中。最小路径覆盖则是包含路径条数最少的路径覆盖。例如，一个有向图有5个顶点，边集为 {(1→2), (2→3), (4→5)}。一个可能的路径覆盖是 {1→2→3, 4→5}，它包含2条路径。我们需要找到覆盖所有顶点的最少路径数。 **解题过程** 1. **问题转化：关键思想**

2025-10-28 18:37:02

xxx 最大流问题（Push-Relabel算法）

**xxx 最大流问题（Push-Relabel算法）** **题目描述** 最大流问题是指在一个有向图中，每条边有一个容量限制，求从源点 s 到汇点 t 的最大流量。Push-Relabel 算法是一种高效求解最大流问题的方法，它通过维护每个节点的“高度”和“超额流”来逐步将流量推向汇点。 **解题过程** 1. **初始化** - 设置源点 s 的高度为节点总数 n，其余节点高度为 0。 - 将源点 s 的所有出边饱和推流（即推送流量等于边容量），使相邻节点获

2025-10-28 16:56:56

xxx 最小生成树的Kruskal算法

**xxx 最小生成树的Kruskal算法** **题目描述** 给定一个连通无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集合，\( E \) 是边集合，每条边 \( (u, v) \) 有一个权重 \( w(u, v) \)。要求找到一个边的子集 \( T \subseteq E \)，使得所有顶点通过 \( T \) 连通，并且总权重 \( \sum_{(u,v) \in T} w(u,v) \) 最小。这样的子集 \( T \) 称为最小生成树（Minimu

2025-10-28 14:06:36

最大流问题（Push-Relabel算法）

**最大流问题（Push-Relabel算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），表示该边能通过的最大流量。图中有一个源点（source）和一个汇点（sink）。最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量，使得每条边上的流量不超过其容量，且除源点和汇点外，每个顶点的流入流量等于流出流量（流量守恒）。 **解题过程** Push-Relabel算法通过模拟水流在顶点间的“推送”和“重标记”操作来求解最大流。与增广路径类算法（如Ford

2025-10-28 13:39:40

xxx 最大流问题（Dinic算法）

**xxx 最大流问题（Dinic算法）** **题目描述** 给定一个有向图，其中每条边有一个非负容量（capacity），表示该边能通过的最大流量。图中有一个特定的源点（source）和一个特定的汇点（sink）。最大流问题的目标是找出从源点到汇点的最大流量，即网络中能通过源点发送到汇点的最大数据量或物质流，同时满足每条边的流量不超过其容量，并且除源点和汇点外，每个节点的流入流量等于流出流量（流量守恒）。 **解题过程** 1. **基本概念与残量图** - 流量网络

2025-10-28 13:07:30

旅行商问题（动态规划解法）

**旅行商问题（动态规划解法）** 题目描述：给定一个带权完全无向图，每个顶点代表一个城市，边权代表城市间的距离。旅行商需要访问每个城市恰好一次并返回起点，求最短的环路路径长度。解题过程： 1. 问题分析 - 这是NP难问题，暴力解法需要检查O(n!)种路径 - 使用动态规划将时间复杂度优化到O(n²·2ⁿ) - 核心思想：记录"已访问城市集合"和"当前所在城市"的状态 2. 状态定义 - 令dp[mask][i]表示： - mask：二进制位集合，表

2025-10-28 11:11:11

强连通分量（Strongly Connected Components）的Kosaraju算法

**强连通分量（Strongly Connected Components）的Kosaraju算法** **题目描述** 给定一个有向图，找出其所有的强连通分量（SCC）。强连通分量是指图中的一个最大子图，其中任意两个顶点都互相可达。例如，在下图中，顶点{0,1,2}构成一个SCC，因为任意两点之间都有路径；而顶点{3}和{4}各自单独构成SCC。 **解题过程** Kosaraju算法通过两次深度优先搜索（DFS）来找出有向图中的所有SCC，步骤如下： 1. **第一次DFS：记

2025-10-28 10:02:27

xxx 最大团问题（回溯算法）

**xxx 最大团问题（回溯算法）** 题目描述：给定一个无向图G=(V,E)，找出图中最大的团。团是一个顶点子集，其中任意两个顶点都相邻（即有边直接连接）。最大团是指包含顶点数最多的团。解题过程： 1. 问题分析： - 团（clique）是图论中的基本概念，要求子集内所有顶点两两相连 - 最大团问题是经典的NP难问题，需要高效的搜索策略 - 我们可以使用回溯算法系统地探索所有可能的顶点子集 2. 算法思路： - 从空集开始，逐步向当前团中添加顶点 - 每次添加新顶点时，检查它是否与当

2025-10-28 09:41:31

xxx 最小点覆盖问题（二分图上的匈牙利算法应用）

**xxx 最小点覆盖问题（二分图上的匈牙利算法应用）** **题目描述** 在一个无向图中，点覆盖是一个顶点集合，使得图中的每条边都至少有一个端点在这个集合中。最小点覆盖问题就是要找到一个顶点数量最少的点覆盖。在一般的图中，这是一个NP难问题，但在二分图中，该问题存在多项式时间解法。给定一个二分图G = (X, Y, E)，其中X和Y是两部分顶点集合，E是边集，请利用匈牙利算法的结果，找出该二分图的最小点覆盖。 **解题过程** 1. **问题转换与理论基础** 在二分图

2025-10-28 09:15:36

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