xxx 最大团问题（回溯算法）

题目描述：给定一个无向图G=(V,E)，找出图中最大的团。团是一个顶点子集，其中任意两个顶点都相邻（即有边直接连接）。最大团是指包含顶点数最多的团。

解题过程：

1. 问题分析：

• 团（clique）是图论中的基本概念，要求子集内所有顶点两两相连
• 最大团问题是经典的NP难问题，需要高效的搜索策略
• 我们可以使用回溯算法系统地探索所有可能的顶点子集

2. 算法思路：

• 从空集开始，逐步向当前团中添加顶点
• 每次添加新顶点时，检查它是否与当前团中所有顶点都相邻
• 如果满足条件，递归地继续扩展；否则回溯尝试其他顶点
• 维护一个全局变量记录当前找到的最大团大小

3. 详细步骤：

步骤1：初始化

• 定义全局变量max_size记录最大团大小
• 定义当前团集合current_clique
• 从顶点0开始逐步构建

步骤2：递归函数设计

function backtrack(current_clique, candidates):
    if current_clique的大小 > max_size:
        更新max_size
    
    for 每个候选顶点v in candidates:
        if v与current_clique中所有顶点都相邻:
            将v加入current_clique
            从candidates中移除不与v相邻的顶点
            backtrack(new_current_clique, new_candidates)
            回溯：从current_clique中移除v

步骤3：剪枝优化

• 如果当前团大小 + 剩余候选顶点数 ≤ 已知最大团大小，可以直接剪枝
• 优先考虑度数大的顶点，这样更可能找到大团

4. 具体示例：
   考虑图G：V={0,1,2,3}，E={(0,1),(0,2),(1,2),(1,3)}

搜索过程：

• 从空集开始
• 添加顶点0：current_clique={0}
• 添加顶点1：检查1与0相邻 → 有效，current_clique={0,1}
• 添加顶点2：检查2与0,1都相邻 → 有效，current_clique={0,1,2}
• 顶点3不与0,2相邻，无法添加
• 找到团{0,1,2}，大小=3
• 回溯尝试其他路径，最终确认最大团大小为3

5. 算法复杂度：

• 最坏情况下是指数级O(2^n)
• 但通过剪枝优化，实际运行效率会有很大提升
• 适用于顶点数不超过100的中等规模图

这种回溯方法虽然是指数复杂度，但通过精心设计的剪枝策略，能够有效解决实际中的最大团问题。